🎡 Spirograph 生成器

Spirograph 是一種繪圖玩具，於 1965 年由 Denys Fisher 獲得專利，用來描繪 hypotrochoid 與 epitrochoid 曲線。小齒輪在固定環內（或外）滾動，齒輪上的偏心孔中插入筆時，當齒輪轉動便會畫出曲線。齒輪環、齒輪與筆位置之間的互動，產生了這個玩具以環形星狀花紋著稱的效果。

當齒輪在環內向內滾動時，筆會描繪出由參數方程式 x = (R − r)·cos θ + d·cos(((R − r)/r)·θ) 與 y = (R − r)·sin θ − d·sin(((R − r)/r)·θ) 定義的 hypotrochoid，其中 R 為環半徑，r 為齒輪半徑，d 為筆偏移，θ 為滾動角度。圖案會在 r / gcd(R, r) 個完整轉圈後關閉，當筆最後回到起始點時。

比例 R : r 決定圖形有多少個葉瓣——齒輪相對環越大，花瓣越多。筆偏移 d 控制形狀：d 較小時形狀較圓潤、接近圓形，而 d 接近 r 時會形成銳利尖點。嘗試 R 與 r 的互質值（它們的 gcd 為 1）可獲得密集、尖多點的星形，而且只在多次旋轉後才會閉合。