🎡 Generador de Spirograph

Un spirograph es un juguete de dibujo — patentado en 1965 por Denys Fisher — que traza curvas hipotrochoides y epitrochoides. Un pequeño engranaje dentado rueda dentro (o alrededor) de un aro fijo, y un bolígrafo situado en un orificio excéntrico del engranaje dibuja la curva mientras el engranaje gira. La interacción entre el aro, el engranaje y la posición del lápiz produce las rosetas en bucle con forma de estrella por las que este juguete es famoso.

Cuando el engranaje rueda dentro del aro, el bolígrafo traza una hipotrochoide definida por las ecuaciones paramétricas x = (R − r)·cos θ + d·cos(((R − r)/r)·θ) y y = (R − r)·sin θ − d·sin(((R − r)/r)·θ), donde R es el radio del aro, r el radio del engranaje y d el desplazamiento del bolígrafo, y θ el ángulo de rodadura. El patrón se cierra tras r / gcd(R, r) vueltas completas, cuando el bolígrafo finalmente regresa a su punto inicial.

La proporción R : r determina cuántos lóbulos tiene el patrón: un aro más grande en relación con el engranaje produce más pétalos. El desplazamiento del bolígrafo d controla la forma: un d pequeño se mantiene redondeado y casi circular, mientras que un d cercano a r genera cúspides agudas y puntiagudas. Prueba valores coprimos de R y r (su gcd es 1) para obtener estrellas densas de muchos puntas que solo se cierran tras muchas revoluciones.