🔺 Sierpinski-trekantsgenerator

Tegn Sierpinski-trekanten med rekursiv opdeling, eller se den opstå fra tilfældige chaos game-punkter. Juster dybde og farve, og eksporter derefter en PNG.

Mode

Rekursiondybde5

Farve

Tip: chaos game tegner tilfældige punkter og konvergerer stadig til den samme trekant.

GUIDE

Laes mere

Hvad er Sierpinski-trekanten?

Sierpinski-trekanten er et selvlignende fraktal: tag en massiv trekant, fjern den midterste under-trekant, som dannes ved at forbinde midtpunkterne på siderne, og gentag det samme trin på hver af de tre resterende trekanter i det uendelige. Resultatet har en fraktal dimension på log 3 / log 2 ≈ 1.585 - mere end en linje, men mindre end et udfyldt område. Den blev introduceret af den polske matematiker Wacław Sierpiński i 1915.

To måder at bygge den på

Dette værktøj tilbyder to konstruktioner. Rekursiv opdeling er deterministisk: den skærer gentagne gange hver trekant i tre mindre kopier, så formen tegnes helt præcist. Chaos game er tilfældig: fastlæg trekantens tre hjørner, start fra et vilkårligt punkt, vælg derefter gentagne gange et hjørne tilfældigt og spring halvvejs derhen, mens hvert landingspunkt plottes. Begge tilgange giver nøjagtigt den samme figur.

Hvorfor chaos game virker

De tre regler om at bevæge sig halvvejs mod et hjørne danner tilsammen et itereret funktionssystem (IFS), og systemets unikke attractor er netop Sierpinski-trekanten. Fordi hver regel trækker afstande ind mod et hjørne, bliver gentagen tilfældig iteration trukket ind på attractoren og kan aldrig lande i de fjernede centrale huller. Derfor tegner spredning af tusindvis af tilfældige punkter stadig en perfekt ordnet fraktal.

Ofte stillede sporgsmal

Hvad er dybdeskyderen?

Den angiver antallet af opdelingsniveauer i den rekursive tilstand. Antallet af udfyldte trekanter ved dybde n er 3^n, så dybde 6 tegner allerede 729 trekanter. Højere dybder viser finere detaljer, men tager længere tid at gengive.

Hvordan kan tilfældige punkter danne en ordnet form?

Hvert trin "spring halvvejs mod et tilfældigt hjørne" er en kontraktionsafbildning. Tilsammen danner de tre afbildninger et itereret funktionssystem, hvis attractor er netop Sierpinski-trekanten, så de tilfældige punkter trækkes altid ind på den form.

Hvad er dens fraktaldimension?

Omkring 1.585, svarende til log 3 / log 2. Trekanten indeholder 3 kopier af sig selv, hver skaleret ned med en faktor 2, og log 3 / log 2 er den eksponent, der knytter disse tal sammen.