🔺 シェルピンスキーの三角形ジェネレーター

シェルピンスキーの三角形は自己相似フラクタルです。塗りつぶした三角形から、各辺の中点を結んでできる真ん中の三角形を取り除き、残った3つの三角形それぞれに同じ操作を無限に繰り返します。そのフラクタル次元は log 3 / log 2 ≈ 1.585 で、線より大きく、塗りつぶした面積より小さい値です。ポーランドの数学者ヴァツワフ・シェルピンスキーが1915年に紹介しました。

このツールは2つの構成法を用意しています。再帰的な分割は決定論的で、各三角形を3つの小さなコピーに繰り返し切り分け、図形を正確に描きます。カオスゲームはランダムで、三角形の3頂点を固定し、任意の点から始めて、ランダムに頂点を1つ選びそちらへ半分だけ進み、着地点を毎回打っていきます。どちらの方法もまったく同じ図形を生み出します。

「頂点へ半分進む」という3つの規則は合わせて反復関数系（IFS）を成し、その系の唯一のアトラクター（吸引集合）がまさにシェルピンスキーの三角形です。各規則が距離を頂点に向けて縮めるため、繰り返されるランダムな点はアトラクター上へ引き込まれ、取り除かれた中央の穴には決して着地できません。だからこそ何千ものランダムな点をまいても、完全に秩序だったフラクタルが描き出されるのです。