🔺 시에르핀스키 삼각형 생성기

시에르핀스키 삼각형은 자기유사 프랙탈입니다. 꽉 찬 삼각형에서 각 변의 중점을 이어 만든 가운데 삼각형을 제거하고, 남은 세 삼각형 각각에 같은 과정을 무한히 반복합니다. 그 결과의 프랙탈 차원은 log 3 / log 2 ≈ 1.585로, 선보다는 크지만 꽉 찬 면적보다는 작습니다. 폴란드 수학자 바츠와프 시에르핀스키가 1915년에 소개했습니다.

이 도구는 두 가지 구성법을 제공합니다. 재귀 분할은 결정론적입니다. 각 삼각형을 세 개의 더 작은 복사본으로 계속 잘라내어 도형을 정확히 그립니다. 카오스 게임은 무작위입니다. 삼각형의 세 꼭짓점을 고정하고 아무 점에서 시작한 뒤, 무작위로 꼭짓점 하나를 골라 그쪽으로 절반만큼 이동하며 매번 도착점을 찍습니다. 두 방법 모두 완전히 똑같은 도형을 만들어 냅니다.

“꼭짓점 쪽으로 절반 이동”이라는 세 규칙은 함께 반복 함수계(IFS)를 이루며, 그 계의 유일한 끌개(attractor)가 바로 시에르핀스키 삼각형입니다. 각 규칙이 거리를 꼭짓점 쪽으로 축소시키므로, 반복되는 무작위 점들은 끌개 위로 끌려가며 제거된 가운데 구멍에는 결코 착지할 수 없습니다. 수천 개의 무작위 점을 뿌려도 완벽히 질서 있는 프랙탈이 그려지는 이유입니다.