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什麼是 Sierpinski 三角形？
Sierpinski 三角形是一個 自相似分形：取一個實心三角形，移除由其邊中點連線形成的中央子三角形，並對每個剩餘的三個三角形永遠重複相同步驟。結果具有 分形維度為 log 3 / log 2 ≈ 1.585，多於一條線但少於一個實心面積。它是由波蘭數學家 Wacław Sierpiński 於1915年提出。
🔺 Sierpinski 三角形產生器
使用遞迴細分繪製 Sierpinski 三角形，或觀看它從隨機混沌遊戲點位中浮現。調整深度與顏色，然後匯出 PNG。
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提示：混沌遊戲會繪製隨機點，但仍會收斂到同一個三角形。
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建立它的兩種方式
此工具提供兩種構造方式。遞迴細分是可預期的：它會反覆將每個三角形切分成三個較小的副本，因此形狀會被精確繪製。混沌遊戲則是隨機的：先固定三角形的三個頂點，從任意點開始，然後反覆隨機選擇一個頂點並向該點移動一半，同時繪製每個落點。兩種方法都產生完全相同的圖形。
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為何混沌遊戲有效
這三條「向角點跳半徑」規則共同形成一個 迭代函數系統 (IFS)，而該系統的唯一吸引子就是 Sierpinski 三角形。由於每條規則都會朝向某個角點縮短距離，反覆的隨機疊代會被拉到吸引子上，且永遠不會落入已移除的中央洞中。這就是為何散佈數千個 隨機 點仍能描繪出一個完美有序的分形。
常見問題
什麼是深度滑桿？
它在遞迴模式中設定細分層級。深度 n 時填滿的三角形數為 3^n，所以深度 6 已經會繪製 729 個三角形。更高深度能顯示更細節的結構，但渲染時間也更長。
隨機點如何能形成有序形狀？
每一步「向隨機角點跳半步」都是一個收縮映射。三個映射共同構成一個迭代函數系統，其吸引子正是 Sierpinski 三角形，因此隨機點會被持續拉向該形狀。
它的分形維度是多少？
約為 1.585，等於 log 3 / log 2。該三角形包含 3 個自身的副本，每個縮小 2 倍，而 log 3 / log 2 是關聯這些數值的指數。