🔺 Sierpinski-driehoekgenerator

De Sierpinski-driehoek is een zelfgelijkende fractal: neem een volle driehoek, verwijder de middelste subdriehoek die ontstaat door de middelpunten van de zijden met elkaar te verbinden, en herhaal diezelfde stap eindeloos op elk van de drie overgebleven driehoeken. Het resultaat heeft een fractal dimensie van log 3 / log 2 ≈ 1.585 - meer dan een lijn maar minder dan een gevuld vlak. Hij werd in 1915 geïntroduceerd door de Poolse wiskundige Wacław Sierpiński.

Deze tool biedt twee constructies. Recursieve opsplitsing is deterministisch: elke driehoek wordt steeds verder in drie kleinere kopieën verdeeld, zodat de vorm exact wordt getekend. Het chaosspel is willekeurig: zet de drie hoeken van een driehoek vast, begin vanuit een willekeurig punt en kies vervolgens steeds een willekeurige hoek om halverwege naartoe te springen, waarbij je elke landingsplek plaatst. Beide benaderingen leveren exact dezelfde figuur op.

De drie regels voor halverwege naar een hoek springen vormen samen een iterated function system (IFS), en de unieke attractor van dat systeem is precies de Sierpinski-driehoek. Omdat elke regel afstanden naar een hoek verkleint, wordt herhaalde willekeurige iteratie naar de attractor getrokken en kan die nooit in de verwijderde centrale gaten terechtkomen. Daarom tekent het uitstrooien van duizenden willekeurige punten toch een perfect geordende fractal.