🔺 Générateur de triangle de Sierpinski

Le triangle de Sierpinski est un fractale auto-similaire : prenez un triangle plein, retirez le sous-triangle central formé en reliant les milieux de ses côtés, puis répétez indéfiniment la même étape sur chacun des trois triangles restants. Le résultat a une dimension fractale de log 3 / log 2 ≈ 1.585 — plus qu’une ligne, mais moins qu’une zone remplie. Il a été introduit par le mathématicien polonais Wacław Sierpiński en 1915.

Cet outil propose deux constructions. La subdivision récursive est déterministe : elle découpe chaque triangle en trois copies plus petites à répétition, de sorte que la forme est dessinée exactement. Le jeu du chaos est aléatoire : fixez les trois sommets d’un triangle, partez d’un point quelconque, puis choisissez à chaque fois un sommet au hasard et sautez à mi-chemin vers lui, en traçant chaque point d’atterrissage. Les deux approches produisent exactement la même figure.

Les trois règles de saut à mi-distance d’un sommet forment ensemble un système de fonctions itérées (IFS), et l’unique attracteur de ce système est précisément le triangle de Sierpinski. Comme chaque règle réduit les distances vers un sommet, l’itération aléatoire répétée est entraînée vers l’attracteur et ne peut jamais tomber dans les trous centraux supprimés. C’est pourquoi disperser des milliers de points aléatoires trace encore un fractal parfaitement ordonné.