🔺 Bộ tạo tam giác Sierpinski

Tam giác Sierpinski là một fractal tự đồng dạng: lấy một tam giác đặc, bỏ phần tam giác con ở giữa được tạo bởi việc nối các trung điểm của các cạnh, rồi lặp lại thao tác đó mãi mãi trên cả ba tam giác còn lại. Kết quả có chiều fractal log 3 / log 2 ≈ 1.585 - lớn hơn một đường thẳng nhưng nhỏ hơn một miền tô kín. Nó được nhà toán học Ba Lan Wacław Sierpiński giới thiệu vào năm 1915.

Công cụ này cung cấp hai cách dựng hình. Phép chia đệ quy là xác định: nó lặp đi lặp lại việc chia mỗi tam giác thành ba bản sao nhỏ hơn, nên hình được vẽ chính xác. Trò chơi hỗn loạn là ngẫu nhiên: cố định ba đỉnh của một tam giác, bắt đầu từ bất kỳ điểm nào, rồi liên tục chọn ngẫu nhiên một đỉnh và nhảy nửa đường về phía đó, ghi lại mỗi điểm dừng. Cả hai cách đều tạo ra cùng một hình.

Ba quy tắc đi nửa đường tới một đỉnh cùng tạo thành một hệ hàm lặp (IFS), và điểm hút duy nhất của hệ đó chính là tam giác Sierpinski. Vì mỗi quy tắc thu nhỏ khoảng cách về phía một đỉnh, quá trình lặp ngẫu nhiên liên tục bị kéo về điểm hút và không bao giờ rơi vào các lỗ trống ở giữa. Đó là lý do vì sao việc rải hàng nghìn điểm ngẫu nhiên vẫn vẽ nên một fractal có trật tự hoàn hảo.