🔺 Generatore del triangolo di Sierpinski

Il triangolo di Sierpinski è un frattale autosimile: prendi un triangolo pieno, rimuovi il sotto-triangolo centrale formato unendo i punti medi dei suoi lati e ripeti lo stesso passaggio su ciascuno dei tre triangoli rimanenti all'infinito. Il risultato ha una dimensione frattale di log 3 / log 2 ≈ 1,585 - più di una linea ma meno di un'area piena. Fu introdotto dal matematico polacco Wacław Sierpiński nel 1915.

Questo strumento offre due costruzioni. La suddivisione ricorsiva è deterministica: taglia ripetutamente ogni triangolo in tre copie più piccole, così la forma viene disegnata in modo esatto. Il gioco del caos è casuale: fissa i tre vertici di un triangolo, parti da un punto qualsiasi, poi scegli ripetutamente un vertice a caso e spostati a metà strada verso di esso, tracciando ogni punto di arrivo. Entrambi gli approcci producono la stessa identica figura.

Le tre regole di spostamento a metà verso un vertice formano insieme un sistema di funzioni iterate (IFS), e il loro attrattore unico è proprio il triangolo di Sierpinski. Poiché ogni regola comprime le distanze verso un vertice, l'iterazione casuale ripetuta viene attirata su quell'attrattore e non può mai cadere nei buchi centrali rimossi. Ecco perché spargere migliaia di punti casuali traccia comunque un frattale perfettamente ordinato.