🔺 谢尔宾斯基三角形生成器

谢尔宾斯基三角形是一种自相似分形：取一个实心三角形，去掉由各边中点相连所构成的中间小三角形，再对剩下的三个三角形无限重复这一步。其分形维数为 log 3 / log 2 ≈ 1.585——大于一条线，却小于一块填满的面积。它由波兰数学家瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基于1915年提出。

本工具提供两种构造法。递归细分是确定性的：它反复将每个三角形切成三个更小的副本，从而精确地画出图形。混沌游戏则是随机的：固定三角形的三个顶点，从任意一点出发，反复随机选一个顶点并朝它移动一半的距离，每次都标出落点。两种方法产生的是完全相同的图形。

“朝某顶点移动一半”的三条规则共同构成一个迭代函数系统（IFS），而该系统唯一的吸引子恰好就是谢尔宾斯基三角形。由于每条规则都把距离朝顶点收缩，反复的随机迭代会被拉到吸引子上，永远无法落进被去掉的中央空洞里。这正是为何撒下成千上万个随机点，仍能勾勒出一个完全有序的分形。