🔺 Sierpinski Triangle Generator

Tegn Sierpinski-trekanten med rekursiv inndeling, eller se den vokse frem fra tilfeldige punkter i kaosspillet. Juster dybden og fargen, og eksporter deretter en PNG.

Mode

Rekursjonsdybde5

Farge

Tips: kaosspillet plasserer tilfeldige punkter og konvergerer likevel til den samme trekanten.

GUIDE

Les mer

Hva er Sierpinski-trekanten?

Sierpinski-trekanten er en selvliknende fraktal: ta en fylt trekant, fjern den midterste undertrekanten som dannes ved å trekke forbindelser mellom midtpunktene på sidene, og gjenta samme trinn på hver av de tre gjenværende trekantene for alltid. Resultatet har en fraktal dimensjon på log 3 / log 2 ≈ 1.585 - mer enn en linje, men mindre enn et fylt område. Den ble introdusert av den polske matematikeren Wacław Sierpiński i 1915.

To måter å bygge den på

Dette verktøyet tilbyr to konstruksjoner. Rekursiv inndeling er deterministisk: det kutter gjentatte ganger hver trekant i tre mindre kopier, slik at formen tegnes nøyaktig. Kaosspillet er tilfeldig: fest de tre hjørnene i en trekant, start fra et hvilket som helst punkt, velg deretter gjentatte ganger et hjørne tilfeldig og hopp halvveis mot det, og plott hvert landingspunkt. Begge tilnærmingene gir akkurat den samme figuren.

Hvorfor kaosspillet fungerer

De tre reglene om å gå halvveis mot et hjørne danner til sammen et iterert funksjonssystem (IFS), og det unike attraktorpunktet i systemet er nettopp Sierpinski-trekanten. Siden hver regel trekker avstandene mot et hjørne, blir gjentatt tilfeldig iterasjon dratt inn mot attraktoren og kan aldri lande i de fjernede hullene i midten. Derfor vil spredning av tusenvis av tilfeldige punkter fortsatt tegne en helt ordnet fraktal.

Vanlige sporsmal

Hva er dybdeskyveren?

Den angir antall inndelingsnivåer i rekursiv modus. Antallet fylte trekanter ved dybde n er 3^n, så dybde 6 tegner allerede 729 trekanter. Høyere dybder gir finere detaljer, men tar lengre tid å rendere.

Hvordan kan tilfeldige punkter danne en ordnet form?

Hvert trinn med å "hoppe halvveis til et tilfeldig hjørne" er en kontraksjonsmapping. Sammen danner de tre mappingene et iterert funksjonssystem, og attraktoren er akkurat Sierpinski-trekanten, så de tilfeldige punktene trekkes alltid inn mot den formen.

Hva er fraktaldimensjonen?

Omtrent 1.585, lik log 3 / log 2. Trekanten inneholder 3 kopier av seg selv, hver skalert ned med en faktor på 2, og log 3 / log 2 er eksponenten som knytter disse tallene sammen.