🔺 Sierpinski-Dreieckgenerator

Das Sierpinski-Dreieck ist ein selbstähnliches Fraktal: Nehmen Sie ein gefülltes Dreieck, entfernen Sie das mittlere Untersdreieck, das durch die Verbindungen der Seitenhalbierenden entsteht, und wiederholen Sie denselben Schritt unendlich auf jedem der drei verbleibenden Dreiecke. Das Ergebnis hat eine Fraktaldimension von log 3 / log 2 ≈ 1.585 — mehr als eine Linie, aber weniger als eine gefüllte Fläche. Es wurde 1915 vom polnischen Mathematiker Wacław Sierpiński eingeführt.

Dieses Tool bietet zwei Konstruktionen. Rekursive Unterteilung ist deterministisch: Es teilt jedes Dreieck wiederholt in drei kleinere Kopien auf, sodass die Form exakt gezeichnet wird. Das Chaos-Spiel ist zufällig: Fixieren Sie die drei Ecken eines Dreiecks, starten Sie von irgendeinem Punkt und wählen dann wiederholt zufällig eine Ecke aus und springen jeweils halbwegs in Richtung dieser Ecke, wobei jeder Aufsetzpunkt gezeichnet wird. Beide Ansätze erzeugen exakt dieselbe Figur.

Die drei „halben Schritte zur Ecke“-Regeln zusammen bilden ein iteriertes Funktionssystem (IFS), und der eindeutige Attraktor dieses Systems ist genau das Sierpinski-Dreieck. Da jede Regel Entfernungen zu einer Ecke verkleinert, wird die wiederholte Zufallsiteration auf den Attraktor gezogen und kann niemals in die entfernten zentralen Löcher fallen. Deshalb zeichnen Tausende von zufälligen Punkten weiterhin ein perfekt geordnetes Fraktal nach.