🎡 Spirograph-Generator

Ein Spirograph ist ein Zeichenspielzeug — 1965 von Denys Fisher patentiert — das Hypotrochoid- und Epitrochoid-Kurven zeichnet. Ein kleines gezahntes Rad rollt innerhalb (oder um) einen festen Ring, und ein Stift in einem versetzten Loch im Zahnrad zeichnet die Kurve, während sich das Zahnrad dreht. Das Zusammenspiel von Ring, Zahnrad und Stiftposition erzeugt die schlaufenförmigen, sternartigen Rosetten, für die dieses Spielzeug bekannt ist.

Wenn das Zahnrad innerhalb des Rings rollt, beschreibt der Stift eine Hypotrochoid-Kurve nach den Parametergleichungen x = (R − r)·cos θ + d·cos(((R − r)/r)·θ) und y = (R − r)·sin θ − d·sin(((R − r)/r)·θ), wobei R der Ringradius, r der Zahnradradius, d der Stiftversatz und θ der Rollenwinkel ist. Das Muster schließt nach r / gcd(R, r) vollständigen Umdrehungen, wenn der Stift endlich wieder am Startpunkt ankommt.

Das Verhältnis R : r bestimmt, wie viele Blütenblätter das Muster hat — ein größerer Ring gegenüber dem Zahnrad erzeugt mehr Petalen. Der Stiftversatz d steuert die Form: ein kleiner d-Wert bleibt rund und fast kreisförmig, während d nahe bei r scharfe, spitze Spitzen erzeugt. Probiere teilerfremde Werte von R und r (deren ggT ist 1), um dichte, vielstrahlige Sterne zu erhalten, die sich erst nach vielen Umdrehungen schließen.