🎡 Spirograph-generator

En spirograf er et tegnelegetøj — patenteret af Denys Fisher i 1965 — som tegner hypotrokoide og epitrokoide kurver. Et lille tandhjul ruller inde i (eller omkring) en fast ring, og en pen placeret i et forskudt hul i tandhjulet tegner kurven, mens hjulet drejer. Samspillet mellem ringen, tandhjulet og penpositionen skaber de slyngede, stjerneagtige rosetter, som legetøjet er kendt for.

Når tandhjulet ruller inde i ringen, tegner pennen en hypotrokoide givet ved de parametriske ligninger x = (R − r)·cos θ + d·cos(((R − r)/r)·θ) og y = (R − r)·sin θ − d·sin(((R − r)/r)·θ), hvor R er ringradius, r tandhjulsradius, d penoffsettet og θ rullevinklen. Mønstret lukker efter r / gcd(R, r) hele omdrejninger, når pennen til sidst vender tilbage til startpunktet.

Forholdet R : r bestemmer, hvor mange lapper mønstret får - en større ring i forhold til tandhjulet giver flere kronblade. Penoffsettet d styrer formen: et lille d forbliver afrundet og næsten cirkulært, mens et d tæt på r giver skarpe, spidse takker. Prøv indbyrdes primiske værdier for R og r (deres gcd er 1) for at få tætte, mange-takkede stjerner, som først lukker efter mange omdrejninger.