🎡 Spirograafgenerator

Een spirograaf is een tekenspeelgoed - gepatenteerd door Denys Fisher in 1965 - dat hypotrochoïde en epitrochoïde krommen tekent. Een klein tandwiel rolt binnenin (of rond) een vaste ring, en een pen in een verschoven gat van het tandwiel tekent de kromme terwijl het tandwiel draait. De wisselwerking tussen de ring, het tandwiel en de positie van de pen levert de lussen en stervormige rozetten op waar het speelgoed bekend om staat.

Wanneer het tandwiel binnen de ring rolt, tekent de pen een hypotrochoïde volgens de parametrische vergelijkingen x = (R − r)·cos θ + d·cos(((R − r)/r)·θ) en y = (R − r)·sin θ − d·sin(((R − r)/r)·θ), waarbij R de ringstraal is, r de tandwielstraal, d de penoffset en θ de rolhoek. Het patroon sluit na r / gcd(R, r) volledige omwentelingen, wanneer de pen uiteindelijk terugkeert naar het startpunt.

De verhouding R : r bepaalt hoeveel lobben het patroon heeft - een grotere ring ten opzichte van het tandwiel geeft meer blaadjes. De penoffset d stuurt de vorm: een kleine d blijft afgerond en bijna cirkelvormig, terwijl d dicht bij r scherpe, puntige inkepingen oplevert. Probeer onderling ondeelbare waarden van R en r (hun gcd is 1) voor dichte, veelpuntige sterren die pas na veel omwentelingen sluiten.