🎡 Generatore di spirografo

Uno spirografo è un gioco da disegno, brevettato da Denys Fisher nel 1965, che traccia curve ipotrocoidi ed epitrocoidi. Un piccolo ingranaggio dentato rotola all’interno (o all’esterno) di un anello fisso, e una penna inserita in un foro decentrato dell’ingranaggio disegna la curva mentre l’ingranaggio gira. L’interazione tra anello, ingranaggio e posizione della penna produce le rosette ad anello, simili a stelle, che hanno reso famoso il giocattolo.

Quando l’ingranaggio rotola all’interno dell’anello, la penna traccia un’ipotrocoide descritta dalle equazioni parametriche x = (R − r)·cos θ + d·cos(((R − r)/r)·θ) e y = (R − r)·sin θ − d·sin(((R − r)/r)·θ), dove R è il raggio dell’anello, r il raggio dell’ingranaggio, d l’offset della penna e θ l’angolo di rotolamento. Il motivo si chiude dopo r / gcd(R, r) giri completi, quando la penna torna finalmente al punto di partenza.

Il rapporto R : r stabilisce quanti lobi ha il motivo: un anello più grande rispetto all’ingranaggio produce più petali. L’offset della penna d controlla la forma: con d piccolo il tratto resta arrotondato e vicino al cerchio, mentre con d vicino a r compaiono cuspidi nette e appuntite. Prova valori coprimi di R e r (il loro gcd è 1) per ottenere stelle dense, con molti punte, che si chiudono solo dopo molte rivoluzioni.