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망델브로 집합이란?
망델브로 집합은 z → z² + c 반복(z = 0에서 시작)이 무한히 발산하지 않고 유계로 유지되는 복소수 c들의 집합입니다. 집합 내부의 점은 검게, 외부의 점은 무한대로 발산하는 속도에 따라 색으로 표현됩니다. 1980년 이를 연구한 브누아 망델브로의 이름을 딴 이 집합은 모든 척도에서 복잡한 자기유사 구조가 반복되는 프랙탈의 가장 유명한 예입니다.
🌀 망델브로 집합 탐색기
망델브로 집합의 무한한 디테일 속으로 확대해 보세요. 아무 곳이나 클릭하면 확대, Shift+클릭 또는 우클릭하면 축소되며, 반복 횟수와 색상 팔레트를 실시간으로 조정할 수 있습니다.
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캔버스를 클릭하면 확대 · Shift+클릭 또는 우클릭하면 축소됩니다.
자세히 알아보기
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탐색기의 작동 원리
각 픽셀의 위치를 복소수 c로 변환한 뒤, 크기가 2를 넘을 때까지(발산 확정) 또는 반복 상한에 도달할 때까지 z² + c를 반복합니다. 발산 횟수가 색을 결정합니다. 이 탐색기는 최종 크기로부터 계산한 소수 발산값을 사용하는 부드러운(연속) 컬러링을 적용하여 색 띠가 딱딱한 고리 대신 매끄럽게 이어집니다. 렌더링은 requestAnimationFrame으로 가로 밴드 단위로 처리되어 1000회 반복에서도 페이지가 멈추지 않습니다.
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최고의 이미지를 얻는 법
깊이 확대할수록 반복 횟수를 높이세요. 얕은 화면은 100~200회로 충분하지만, 깊은 확대에서는 가느다란 필라멘트를 표현하려면 500~1000회가 필요합니다. 가장 화려한 구조 — 미니 망델브로, 나선, "해마" 계곡 — 은 검은 내부와 색깔 있는 외부의 경계선을 따라 존재합니다. 마음에 드는 화면을 찾으면 PNG 저장을 눌러 전체 해상도로 내보내세요.
자주 묻는 질문
아주 깊이 확대하면 왜 이미지가 뭉개지나요?
확대는 배정밀도 부동소수점에 의존합니다. 약 10^13배 이상 확대하면 수치 정밀도가 떨어져 디테일이 뭉개지는데, 이는 표준 자바스크립트 숫자의 하드웨어적 한계이며 버그가 아닙니다. 초기화 후 다른 영역을 탐색하세요.
반복 슬라이더는 무엇을 바꾸나요?
한 점이 집합 내부로 간주되기 전까지 수행하는 z → z² + c 단계의 최대 횟수를 설정합니다. 값이 클수록 경계의 세밀한 디테일이 드러나지만 렌더링이 느려집니다. 상한은 1000입니다.
줄리아 집합과 관련이 있나요?
네. 망델브로 집합은 사실상 모든 줄리아 집합의 지도입니다. 각 점 c는 하나의 줄리아 집합에 대응하며, 망델브로 집합 내부의 c값은 연결된 줄리아 집합을 만듭니다. 줄리아 집합 생성기에서 직접 확인해 보세요.