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什麼是 Mandelbrot 集？
Mandelbrot 集是複數 c 的集合，對於迭代 z → z² + c（從 z = 0 開始）始終有界的複數。集合內的點會被塗成黑色；集合外的點則依離開到無限遠的速度著色。該集合以 1980 年研究者 Benoit Mandelbrot 命名，是最著名的分形範例之一——一種在每個尺度都重複出現的複雜自相似結構。
🌀 Mandelbrot 集合探索器
深入探索無限細節的 Mandelbrot 集合。點擊任意位置可放大，按住 Shift 或右鍵點擊可縮小，並即時調整迭代次數與色盤。
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點擊畫布可放大 · 按住 Shift 或右鍵點擊可縮小。
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探索器如何運作
工具會先將每個像素位置對應到一個複數 c，接著反覆執行 z² + c，直到幅值超過 2（保證逃逸）或達到迭代上限。逃逸次數決定顏色。此探索器使用 平滑（連續）著色 — 從最終幅值計算出的分數逃逸值 — 讓色帶無縫混合，而不形成硬邊圓環。渲染透過 requestAnimationFrame 以行區塊執行，即使在 1000 次迭代下也能保持頁面回應。
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取得最佳影像
當你進一步放大時，請提高迭代次數：淺層視圖在 100–200 次時看起來已很不錯，但深度縮放需要 500–1000 次才能解析細絲。最壯觀的結構——迷你 Mandelbrots、旋渦與「海馬」峽谷——都位在黑色內部與彩色外圍之間的邊界上。當你找到喜歡的畫面時，點擊「儲存 PNG」以完整畫布解析度匯出。
常見問題
為什麼我放大得很深時圖片會變得有方塊感？
放大依賴雙精度浮點數。大約在 10^13× 放大倍率後，數字會失去精度，細節開始變得方塊狀——這是標準 JavaScript 數值的硬體限制，而非程式錯誤。請重設後探索其他區域。
迭代滑桿實際會改變什麼？
它會設定一個 z → z² + c 的最大步數，超過後才假設某點位於集合內。較高的值可揭示更細緻的邊界細節，但會需要更久的渲染時間。上限是 1000。
這與 Julia 集有關嗎？
有關聯。Mandelbrot 集實際上是一張所有 Julia 集的對照圖：每個點 c 對應一個 Julia 集，而位於 Mandelbrot 集內的 c 值會形成連通的 Julia 集。試試我們的 Julia 集生成器來探索。