🔢 Fakultätsrechner

Berechnet n! (die Fakultät von n) exakt ohne Rundungsfehler mit JavaScript BigInt. n muss eine ganze Zahl zwischen 0 und 5000 sein.

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Was ist eine Fakultät (n!)?

Eine Fakultät ist das Produkt aller positiven ganzen Zahlen von 1 bis n, definiert als n! = 1 × 2 × 3 × ⋯ × n. Zum Beispiel ist 5! = 1×2×3×4×5 = 120. Gemäß Konvention gilt 0! = 1. Fakultäten sind ein fundamentales Werkzeug in der Kombinatorik (Permutationen und Kombinationen), der Wahrscheinlichkeitstheorie und bei Reihenentwicklungen.

Warum mit BigInt rechnen?

Der reguläre Number-Typ von JavaScript verliert die Genauigkeit jenseits von 2⁵³-1 (etwa 9×10¹⁵). Doch n! überschreitet diesen Wert bei wachsendem n sehr schnell — 18! liegt bereits bei etwa 6.4×10¹⁵. Dieser Rechner führt die Multiplikation mit dem JavaScript-Typ BigInt aus, sodass selbst bei großen n das exakte ganzzahlige Ergebnis ohne Rundungsfehler angezeigt wird.

Referenzwerte und Eingabebegrenzung

5! = 120, 10! = 3,628,800, 15! = 1,307,674,368,000, 20! = 2,432,902,008,176,640,000. Die Stellenzahl wächst extrem schnell, wenn n steigt (100! hat 158 Stellen, 1000! hat 2,568 Stellen), deshalb werden die Ergebnisse sehr lang — die Eingabe ist auf n ≤ 5000 begrenzt, um eine angemessene Server-/Browser-Last zu halten.

Häufig gestellte Fragen

Warum ist das maximale n auf 5000 begrenzt?

Mit steigendem n wächst die Stellenzahl von n! exponentiell (5000! hat etwa 16,326 Stellen), was auch den Rechen- und Render-Aufwand erhöht. Die Grenze von 5000 verhindert exzessive Ressourcennutzung und deckt trotzdem fast alle praktischen Anwendungsfälle ab.

Warum ist 0! gleich 1?

0! ist nach mathematischer Konvention als 1 definiert. Das entspricht der kombinatorischen Interpretation, dass es genau eine Möglichkeit gibt, null Elemente anzuordnen, und hält die rekursive Definition n! = n × (n-1)! auch bei n=1 konsistent.

Was passiert, wenn ich eine negative Zahl oder eine Dezimalzahl eingebe?

Die Fakultät ist nur für nicht-negative ganze Zahlen definiert, daher führt die Eingabe einer negativen Zahl, Dezimalzahl oder nichtnumerischen Zeichenfolge zu einer Fehlermeldung. (Die Gamma-Funktion erweitert die Fakultät auf die meisten reellen und komplexen Zahlen außer negativen ganzen Zahlen, aber dieser Rechner verarbeitet nur ganzzahlige Fakultäten.)