Util Monster
Miễn phí
Giải phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 bằng công thức bậc hai và trực quan hóa bằng đồ thị. Hữu ích cho học toán, làm bài tập và ôn thi.
Phương trình bậc hai là phương trình có bậc cao nhất là 2, có dạng ax² + bx + c = 0, trong đó a, b, c là các hằng số và a ≠ 0. Ví dụ: x² - 5x + 6 = 0, 2x² + 3x - 2 = 0. Đồ thị của phương trình bậc hai là một parabol, và các điểm đồ thị cắt trục x chính là nghiệm của phương trình.
Công thức bậc hai là x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a. Công thức này có thể giải mọi phương trình bậc hai. Ví dụ, với x² - 5x + 6 = 0, a=1, b=-5, c=6, thay vào ta được x = (5 ± √(25-24)) / 2 = (5 ± 1) / 2, nên x = 3 hoặc x = 2. Công thức này đã được các nhà toán học thế kỷ 16 hoàn thiện.
Biệt thức Δ = b² - 4ac xác định tính chất của nghiệm. Nếu Δ > 0, có hai nghiệm thực phân biệt; nếu Δ = 0, có nghiệm kép (hai nghiệm thực bằng nhau); nếu Δ < 0, có hai nghiệm phức. Ví dụ, x² - 4x + 4 = 0 có Δ = 16 - 16 = 0, nên x = 2 (nghiệm kép). x² + x + 1 = 0 có Δ = 1 - 4 = -3 < 0, nên có nghiệm phức.
Đồ thị của y = ax² + bx + c là một parabol. Nếu a > 0, đồ thị mở lên (lõm lên); nếu a < 0, đồ thị mở xuống (lõm xuống). Hoành độ đỉnh là -b/2a, và trục đối xứng là x = -b/2a. Các điểm đồ thị cắt trục x là nghiệm, và số nghiệm có thể xác định bằng biệt thức.
Khi hai nghiệm của ax² + bx + c = 0 là α và β, phương trình có thể phân tích thành a(x - α)(x - β) = 0. Ví dụ, vì x² - 5x + 6 = 0 có nghiệm 2 và 3, nên nó phân tích thành (x - 2)(x - 3) = 0. Từ mối liên hệ giữa nghiệm và hệ số, α + β = -b/a và αβ = c/a.
Phương trình bậc hai được dùng trong vật lý cho chuyển động ném (quỹ đạo của vật), trong kiến trúc cho thiết kế vòm, trong kinh tế để tối đa hóa lợi nhuận, và trong kỹ thuật cho các bài toán tối ưu hóa. Ví dụ, với một quả bóng được ném từ độ cao h có y = -5t² + 20t + h, thời điểm bóng chạm đất (y=0) có thể tìm bằng cách giải một phương trình bậc hai.