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Löst quadratische Gleichungen ax² + bx + c = 0 mit der Mitternachtsformel und visualisiert sie mit Diagrammen. Nützlich für Mathe-Lernen, Hausaufgaben und Prüfungsvorbereitung.
Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung mit dem höchsten Grad 2, in der Form ax² + bx + c = 0, wobei a, b, c Konstanten sind und a ≠ 0. Beispiele sind x² - 5x + 6 = 0, 2x² + 3x - 2 = 0. Quadratische Gleichungen ergeben grafisch dargestellt Parabeln, und die Punkte, an denen der Graph die x-Achse schneidet, sind die Lösungen (Nullstellen) der Gleichung.
Die Mitternachtsformel lautet x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a. Mit dieser Formel lässt sich jede quadratische Gleichung lösen. Zum Beispiel ergibt sich bei x² - 5x + 6 = 0 mit a=1, b=-5, c=6 durch Einsetzen x = (5 ± √(25-24)) / 2 = (5 ± 1) / 2, also x = 3 oder x = 2. Diese Formel wurde von Mathematikern des 16. Jahrhunderts vervollkommnet.
Die Diskriminante Δ = b² - 4ac bestimmt die Art der Nullstellen. Wenn Δ > 0, gibt es zwei verschiedene reelle Nullstellen; wenn Δ = 0, gibt es eine doppelte Nullstelle (zwei gleiche reelle Nullstellen); wenn Δ < 0, gibt es zwei komplexe Nullstellen. Zum Beispiel hat x² - 4x + 4 = 0 Δ = 16 - 16 = 0, also x = 2 (doppelte Nullstelle). x² + x + 1 = 0 hat Δ = 1 - 4 = -3 < 0, besitzt also komplexe Nullstellen.
Der Graph von y = ax² + bx + c ist eine Parabel. Wenn a > 0, öffnet sie sich nach oben (nach oben gekrümmt); wenn a < 0, öffnet sie sich nach unten (nach unten gekrümmt). Die x-Koordinate des Scheitelpunkts ist -b/2a, und die Symmetrieachse ist x = -b/2a. Die Punkte, an denen der Graph die x-Achse schneidet, sind die Nullstellen, und die Anzahl der Nullstellen lässt sich anhand der Diskriminante bestimmen.
Wenn die beiden Nullstellen von ax² + bx + c = 0 α und β sind, lässt sich die Gleichung als a(x - α)(x - β) = 0 faktorisieren. Da x² - 5x + 6 = 0 zum Beispiel die Nullstellen 2 und 3 hat, lässt sie sich als (x - 2)(x - 3) = 0 faktorisieren. Aus der Beziehung zwischen Nullstellen und Koeffizienten folgt α + β = -b/a und αβ = c/a.
Quadratische Gleichungen werden in der Physik für Wurfbewegungen (Flugbahnen von Bällen), in der Architektur für die Gestaltung von Bögen, in der Wirtschaft für die Gewinnmaximierung und im Ingenieurwesen für Optimierungsprobleme verwendet. Wird beispielsweise ein Ball aus der Höhe h geworfen mit y = -5t² + 20t + h, lässt sich der Zeitpunkt, an dem der Ball den Boden erreicht (y=0), durch Lösen einer quadratischen Gleichung bestimmen.