📈 Calcolatore della formula quadratica

Risolvi equazioni quadratiche ax² + bx + c = 0 usando la formula quadratica e visualizzale con i grafici. Utile per lo studio della matematica, i compiti e la preparazione agli esami.

Formato dell'equazione: ax² + bx + c = 0

Risultato

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Discriminante (Δ)—

Radice x₁—

Radice x₂—

GUIDA

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Che cos'è un'equazione quadratica?

Un'equazione quadratica è un'equazione di secondo grado, nella forma ax² + bx + c = 0, dove a, b e c sono costanti e a ≠ 0. Esempi includono x² - 5x + 6 = 0, 2x² + 3x - 2 = 0. Le equazioni quadratiche si rappresentano come parabole, e i punti in cui il grafico interseca l'asse x sono le soluzioni (radici) dell'equazione.

Che cos'è la formula quadratica?

La formula quadratica è x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a. Questa formula può risolvere qualsiasi equazione quadratica. Per esempio, in x² - 5x + 6 = 0 con a=1, b=-5, c=6, sostituendo si ottiene x = (5 ± √(25-24)) / 2 = (5 ± 1) / 2, quindi x = 3 oppure x = 2. Questa formula fu perfezionata da matematici del XVI secolo.

Significato del discriminante

Il discriminante Δ = b² - 4ac determina la natura delle radici. Se Δ > 0, ci sono due radici reali distinte; se Δ = 0, c'è una radice doppia (due radici reali uguali); se Δ < 0, ci sono due radici complesse. Per esempio, x² - 4x + 4 = 0 ha Δ = 16 - 16 = 0, quindi x = 2 (radice doppia). x² + x + 1 = 0 ha Δ = 1 - 4 = -3 < 0, quindi ha radici complesse.

Grafico delle equazioni quadratiche

Il grafico di y = ax² + bx + c è una parabola. Se a > 0, si apre verso l'alto (concavità verso l'alto); se a < 0, si apre verso il basso (concavità verso il basso). La coordinata x del vertice è -b/2a, e l'asse di simmetria è x = -b/2a. I punti in cui il grafico interseca l'asse x sono le radici, e il numero di radici può essere determinato dal discriminante.

Relazione con la fattorizzazione

Quando le due radici di ax² + bx + c = 0 sono α e β, l'equazione si fattorizza come a(x - α)(x - β) = 0. Per esempio, poiché x² - 5x + 6 = 0 ha radici 2 e 3, si fattorizza come (x - 2)(x - 3) = 0. Dalla relazione tra radici e coefficienti, α + β = -b/a e αβ = c/a.

Applicazioni nel mondo reale

Le equazioni quadratiche si usano in fisica per il moto dei proiettili (traiettorie di palloni), in architettura per il design degli archi, in economia per massimizzare il profitto e in ingegneria per problemi di ottimizzazione. Per esempio, per una palla lanciata da un'altezza h con y = -5t² + 20t + h, il momento in cui la palla tocca il suolo (y=0) si può trovare risolvendo un'equazione quadratica.

Domande frequenti

Cosa significa se il discriminante (Δ) è negativo?

Se Δ = b² - 4ac è negativo, non ci sono soluzioni reali: si ottengono invece due radici complesse coniugate. Graficamente, significa che la parabola non tocca mai l'asse x.

Perché il coefficiente a non può essere zero?

Se a è zero, il termine x² scompare e l'equazione diventa lineare (bx + c = 0), non quadratica. La formula stessa divide per 2a, quindi non è definita quando a = 0.

Se il discriminante è 0 (radice doppia), significa che c'è solo una soluzione?

Sì, più precisamente significa che due radici reali uguali coincidono in un unico valore. Graficamente, il vertice della parabola tocca l'asse x esattamente in quel punto.

La fattorizzazione e la formula quadratica danno la stessa risposta?

Sì, per la stessa equazione entrambi i metodi producono radici identiche. La formula quadratica funziona sempre, anche quando i coefficienti non si fattorizzano facilmente in numeri interi, mentre la fattorizzazione a mano può essere difficile.

Posso inserire coefficienti decimali o negativi?

Sì, a, b e c possono essere decimali o numeri negativi, non solo interi. L'unico vincolo è che a non può essere zero.