📈 Kwadratische-formulecalculator

Lost kwadratische vergelijkingen ax² + bx + c = 0 op met de kwadratische formule en visualiseert ze met grafieken. Handig voor wiskundeleren, huiswerk en examenvoorbereiding.

Vergelijkingsvorm: ax² + bx + c = 0

Resultaat

—

Discriminant (Δ)—

Nulwaarde x₁—

Nulwaarde x₂—

GIDS

Meer lezen

Wat is een kwadratische vergelijking?

Een kwadratische vergelijking is een vergelijking met graad 2, in de vorm ax² + bx + c = 0, waarbij a, b en c constanten zijn en a ≠ 0. Voorbeelden zijn x² - 5x + 6 = 0 en 2x² + 3x - 2 = 0. Kwadratische vergelijkingen worden als parabolen weergegeven, en waar de grafiek de x-as snijdt, liggen de oplossingen (nulwaarden) van de vergelijking.

Wat is de kwadratische formule?

De kwadratische formule is x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a. Met deze formule kun je elke kwadratische vergelijking oplossen. Bijvoorbeeld, in x² - 5x + 6 = 0 met a=1, b=-5, c=6 geeft invullen x = (5 ± √(25-24)) / 2 = (5 ± 1) / 2, dus x = 3 of x = 2. Deze formule werd in de 16e eeuw geperfectioneerd door wiskundigen.

Betekenis van de discriminant

De discriminant Δ = b² - 4ac bepaalt de aard van de nulwaarden. Als Δ > 0, zijn er twee verschillende reële nulwaarden; als Δ = 0, is er een dubbele nulwaarde (twee gelijke reële nulwaarden); als Δ < 0, zijn er twee complexe nulwaarden. Bijvoorbeeld, x² - 4x + 4 = 0 heeft Δ = 16 - 16 = 0, dus x = 2 (dubbele nulwaarde). x² + x + 1 = 0 heeft Δ = 1 - 4 = -3 < 0, dus heeft het complexe nulwaarden.

Grafiek van kwadratische vergelijkingen

De grafiek van y = ax² + bx + c is een parabool. Als a > 0, opent die naar beneden (hol omhoog); als a < 0, opent die naar boven (hol omlaag). De x-coördinaat van de top is -b/2a, en de symmetrie-as is x = -b/2a. Waar de grafiek de x-as snijdt, liggen de nulwaarden, en het aantal nulwaarden kan worden bepaald met de discriminant.

Relatie met ontbinden in factoren

Wanneer de twee nulwaarden van ax² + bx + c = 0 α en β zijn, ontbindt de vergelijking als a(x - α)(x - β) = 0. Bijvoorbeeld, omdat x² - 5x + 6 = 0 de nulwaarden 2 en 3 heeft, ontbindt het als (x - 2)(x - 3) = 0. Uit de relatie tussen nulwaarden en coëfficiënten volgt α + β = -b/a en αβ = c/a.

Toepassingen in de praktijk

Kwadratische vergelijkingen worden gebruikt in de natuurkunde voor worpbewegingen (baan van een bal), in architectuur voor boogontwerpen, in economie voor winstmaximalisatie en in techniek voor optimalisatieproblemen. Bijvoorbeeld, voor een bal die vanaf hoogte h wordt geworpen met y = -5t² + 20t + h, kun je de tijd waarop de bal de grond raakt (y=0) vinden door een kwadratische vergelijking op te lossen.

Veelgestelde vragen

Wat betekent het als de discriminant (Δ) negatief is?

Als Δ = b² - 4ac negatief is, zijn er geen reële oplossingen - in plaats daarvan krijg je twee complexe geconjugeerde nulwaarden. Grafisch betekent dit dat de parabool de x-as nooit raakt.

Waarom mag coëfficiënt a niet nul zijn?

Als a nul is, verdwijnt de x²-term en wordt de vergelijking lineair (bx + c = 0), niet kwadratisch. De formule zelf deelt door 2a, dus die is ongedefinieerd wanneer a = 0.

Als de discriminant 0 is (een dubbele nulwaarde), betekent dat dan dat er maar één oplossing is?

Ja, preciezer gezegd betekent het dat twee gelijke reële nulwaarden samenvallen tot één enkele waarde. Grafisch raakt de top van de parabool precies op dat punt de x-as.

Geven ontbinden in factoren en de kwadratische formule hetzelfde antwoord?

Ja, voor dezelfde vergelijking leveren beide methoden identieke nulwaarden op. De kwadratische formule werkt altijd, ook wanneer de coëfficiënten niet netjes in gehele getallen te ontbinden zijn, waar handmatig ontbinden lastig kan zijn.

Kan ik decimalen of negatieve coëfficiënten invoeren?

Ja, a, b en c kunnen decimalen of negatieve getallen zijn, niet alleen gehele getallen. De enige beperking is dat a niet nul mag zijn.