01
什麼是二次方程式？
二次方程式是最高次數為2的方程式，形式為 ax² + bx + c = 0，其中 a、b、c 為常數且 a ≠ 0。例如 x² - 5x + 6 = 0、2x² + 3x - 2 = 0 等。二次方程式的圖形是拋物線，圖形與 x 軸的交點即為方程式的解（根）。
📈 二次方程式求根公式計算機
使用求根公式求解二次方程式 ax² + bx + c = 0，並以圖表視覺化呈現。有助於數學學習、寫作業和準備考試。
方程式格式：ax² + bx + c = 0
結果
—
判別式 (Δ)—
根 x₁—
根 x₂—
瞭解更多
02
什麼是求根公式？
求根公式為 x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a。使用這個公式可以求解任何二次方程式。例如在 x² - 5x + 6 = 0 中，a=1、b=-5、c=6，代入後得到 x = (5 ± √(25-24)) / 2 = (5 ± 1) / 2，所以 x = 3 或 x = 2。這個公式由16世紀的數學家完善而成。
03
判別式的意義
判別式 Δ = b² - 4ac 決定方程式根的性質。若 Δ > 0，有兩個相異實根；若 Δ = 0，有重根（兩個相同的實根）；若 Δ < 0，則有兩個複數根。例如 x² - 4x + 4 = 0 的 Δ = 16 - 16 = 0，所以 x = 2（重根）。x² + x + 1 = 0 的 Δ = 1 - 4 = -3 < 0，所以有複數根。
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二次方程式的圖形
二次方程式 y = ax² + bx + c 的圖形是拋物線。若 a > 0，開口向下（向上凹）；若 a < 0，開口向上（向下凹）。頂點的 x 座標為 -b/2a，對稱軸為 x = -b/2a。圖形與 x 軸的交點即為根，根的數量可由判別式決定。
05
與因式分解的關係
當 ax² + bx + c = 0 的兩個根為 α 和 β 時，方程式可因式分解為 a(x - α)(x - β) = 0。例如，由於 x² - 5x + 6 = 0 的根為 2 和 3，所以可因式分解為 (x - 2)(x - 3) = 0。根與係數的關係中，α + β = -b/a，αβ = c/a。
06
二次方程式的實際應用
二次方程式應用於物理學中的拋物線運動（球的軌跡）、建築學中的拱門設計、經濟學中的利潤最大化，以及工程學中的最佳化問題。例如，從高度 h 拋出的球，其高度為 y = -5t² + 20t + h，球落地的時間（y=0）可透過求解二次方程式求得。
常見問題
判別式(Δ)為負數代表什麼意思？
若Δ = b² - 4ac為負數，在實數範圍內無解，會得到一對共軛虛根(複數根)。從圖形來看，就是拋物線不與x軸相交的情況。
係數a為0時為什麼無法計算？
若a為0，x²項會消失，方程式就不再是二次方程式，而變成一次方程式(bx + c = 0)。由於公式本身需要除以2a，a=0時公式將無法定義。
出現重根(Δ=0)代表只有一個根嗎？
正確地說，是兩個相同數值的實根重疊在一起。在圖形上，拋物線的頂點恰好與x軸相切的那一點就是這個根。
用因式分解代替公式解，結果會一樣嗎？
若是同一個方程式，兩種方法會得到相同的根。但若係數複雜或無法用整數因式分解，公式解永遠適用，而因式分解則可能較困難。
輸入的係數可以是小數或負數嗎？
可以。a、b、c不僅可以輸入整數，也能輸入小數與負數，但a不能為0。