Util Monster
Gratis
Löser andragradsekvationer ax² + bx + c = 0 med andragradsekvationsformeln och visualiserar med grafer. Användbart för matematikstudier, läxor och tentaförberedelser.
En andragradsekvation är en ekvation med högsta grad 2, i formen ax² + bx + c = 0, där a, b och c är konstanter och a ≠ 0. Exempel är x² - 5x + 6 = 0, 2x² + 3x - 2 = 0. Andragradsekvationer ritas som parabler, och där grafen skär x-axeln finns ekvationens lösningar (rötter).
Andragradsekvationsformeln är x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a. Med den kan man lösa vilken andragradsekvation som helst. Till exempel, i x² - 5x + 6 = 0 med a=1, b=-5, c=6 ger insättning x = (5 ± √(25-24)) / 2 = (5 ± 1) / 2, alltså x = 3 eller x = 2. Formeln fulländades av matematiker på 1500-talet.
Diskriminanten Δ = b² - 4ac avgör rötternas natur. Om Δ > 0 finns två olika reella rötter; om Δ = 0 finns en dubbelrot (två lika reella rötter); om Δ < 0 finns två komplexa rötter. Till exempel har x² - 4x + 4 = 0 Δ = 16 - 16 = 0, alltså x = 2 (dubbelrot). x² + x + 1 = 0 har Δ = 1 - 4 = -3 < 0, alltså har den komplexa rötter.
Grafen för y = ax² + bx + c är en parabel. Om a > 0 öppnar den nedåt (konvex uppåt); om a < 0 öppnar den uppåt (konvex nedåt). Toppunktens x-koordinat är -b/2a, och symmetriaxeln är x = -b/2a. Där grafen skär x-axeln finns rötterna, och antalet rötter kan bestämmas med diskriminanten.
När de två rötterna till ax² + bx + c = 0 är α och β kan ekvationen faktoriseras som a(x - α)(x - β) = 0. Till exempel, eftersom x² - 5x + 6 = 0 har rötterna 2 och 3, faktoriseras den som (x - 2)(x - 3) = 0. Ur sambandet mellan rötter och koefficienter får vi α + β = -b/a och αβ = c/a.
Andragradsekvationer används i fysik för kastparabler, i arkitektur för bågdesign, i ekonomi för vinstmaximering och i teknik för optimeringsproblem. Till exempel, för en boll som kastas från höjden h med y = -5t² + 20t + h kan tiden när bollen träffar marken (y=0) bestämmas genom att lösa en andragradsekvation.