🎡 スピログラフ・ジェネレーター

スピログラフはハイポトロコイドやエピトロコイド曲線を描くお絵かき玩具で、1965年にデニス・フィッシャーが特許を取得しました。小さな歯車が固定リングの内側（または外側）を転がり、歯車のオフセット穴に差したペンが、歯車の回転につれて曲線を描きます。リング、歯車、ペン位置の組み合わせが、この玩具を有名にした輪を描く星形のロゼットを生み出します。

歯車がリングの内側を転がるとき、ペンは次の媒介変数方程式で表されるハイポトロコイドを描きます。x = (R − r)·cos θ + d·cos(((R − r)/r)·θ)、y = (R − r)·sin θ − d·sin(((R − r)/r)·θ)。ここで R はリング半径、r は歯車半径、d はペンのオフセット、θ は転がり角です。模様はペンが出発点に戻る r / gcd(R, r) 回転後に閉じます。

比率 R : r が模様の花弁（ローブ）の数を決めます。歯車に対してリングが大きいほど花弁が増えます。ペンのオフセット d は形を左右し、d が小さいと丸く円に近く、d が r に近いと鋭く尖った尖点になります。R と r を互いに素（最大公約数が1）にすると、多くの回転を経て初めて閉じる、密で多くの尖りを持つ星模様が得られます。