Calcolatore Modulo

Addizione, sottrazione, moltiplicazione, elevazione a potenza e inverso modulari. Scopri le operazioni modulari usate nella crittografia RSA.

Modulo base — Addizione modulare — Sottrazione modulare — Moltiplicazione modulare — Elevazione a potenza modulare — Inverso modulare —

GUIDA

Scopri di piu

Fondamenti dell'operazione modulo

L'operazione modulo (a mod m) è il resto della divisione di a per m. Esempio: 17 mod 5 = 2. Si usa ogni giorno nei calcoli dell'orologio (24 ore) e dei giorni della settimana. È essenziale nella programmazione per il wrapping degli indici degli array e le funzioni hash.

Addizione e moltiplicazione modulari

Addizione modulare: (a + b) mod m. Moltiplicazione modulare: (a × b) mod m. Per evitare overflow nei calcoli con numeri grandi, applica il modulo a ogni passaggio. Esempio: (12 + 8) mod 5 = 20 mod 5 = 0.

Elevazione a potenza modulare - Calcolo veloce

Quando si calcola a^b mod m, l'elevazione diretta rende i numeri troppo grandi. Usando l'algoritmo di elevazione rapida divide et impera, il calcolo può avvenire in O(log b) tempo. Operazione centrale della crittografia RSA.

Inverso modulare - Algoritmo euclideo esteso

L'inverso modulare è x tale che (a × x) mod m = 1. Esiste solo quando a e m sono coprimi. Si calcola in O(log m) tempo con l'algoritmo euclideo esteso. Usato nella decrittazione e nei calcoli frazionari.

Crittografia RSA e operazioni modulari

RSA è un sistema crittografico a chiave pubblica basato sull'elevazione a potenza modulare e sull'inverso. Cifratura: c = m^e mod n, Decifratura: m = c^d mod n. Si basa sulla difficoltà di fattorizzare n, il prodotto di due grandi numeri primi.

Domande frequenti

Cosa succede se calcolo il modulo con un numero negativo?

Le convenzioni per il modulo negativo variano a seconda del linguaggio, ma questo calcolatore segue la definizione matematica in cui il risultato è sempre compreso tra 0 e m-1. Esempio: -7 mod 5 = 3.

Cosa succede se inserisco 0 come modulo (m)?

La divisione per zero non è definita, quindi non è possibile calcolare un modulo pari a 0. Il modulo m deve essere un intero positivo.

Quando non esiste un inverso modulare?

Un inverso modulare esiste solo quando a e m sono coprimi, cioè il loro massimo comun divisore è 1. Per esempio, se sia a che m sono pari, non esiste alcun inverso.

Perché serve un algoritmo veloce per l'elevazione a potenza modulare?

Quando l'esponente cresce, a^b diventa astronomicamente grande, rendendo impraticabile il calcolo diretto. L'elevazione rapida (divide et impera) applica il modulo a ogni passaggio per mantenere i numeri piccoli, calcolando il risultato in O(log b) tempo.

Dove si usa in pratica l'aritmetica modulare?

Alimenta l'indicizzazione dei bucket nelle tabelle hash, la pianificazione ciclica (giorni della settimana, ora dell'orologio), la crittografia e decrittografia in RSA e altri sistemi a chiave pubblica, e la convalida di checksum come i controlli ISBN.