Calculadora de Módulo

Suma, resta, multiplicación, exponenciación e inverso modulares. Aprende las operaciones modulares utilizadas en el cifrado RSA.

Módulo básico — Suma modular — Resta modular — Multiplicación modular — Exponenciación modular — Inverso modular —

GUÍA

Más información

Fundamentos de la operación módulo

La operación módulo (a mod m) es el resto de dividir a entre m. Ejemplo: 17 mod 5 = 2. Se usa a diario en cálculos de reloj (formato de 24 horas) y del día de la semana. Es esencial en programación para el ciclo de índices de arreglos y funciones hash.

Suma y multiplicación modulares

Suma modular: (a + b) mod m. Multiplicación modular: (a × b) mod m. Para evitar desbordamientos al calcular números grandes, se toma el módulo en cada paso. Ejemplo: (12 + 8) mod 5 = 20 mod 5 = 0.

Exponenciación modular - Cálculo rápido

Al calcular a^b mod m, la exponenciación directa hace que los números sean demasiado grandes. El algoritmo de exponenciación rápida por divide y vencerás permite un cálculo en tiempo O(log b). Es la operación central del cifrado RSA.

Inverso modular - Algoritmo de Euclides extendido

El inverso modular es x tal que (a × x) mod m = 1. Solo existe cuando a y m son primos entre sí. Se calcula en tiempo O(log m) mediante el algoritmo de Euclides extendido. Se usa en el desciframiento y en cálculos con fracciones.

El cifrado RSA y las operaciones modulares

RSA es un sistema criptográfico de clave pública basado en la exponenciación modular y el inverso modular. Cifrado: c = m^e mod n, descifrado: m = c^d mod n. Se apoya en la dificultad de factorizar n, el producto de dos números primos grandes.

Preguntas frecuentes

¿Qué ocurre al calcular el módulo con un número negativo?

Las convenciones para el módulo negativo varían según el lenguaje, pero esta calculadora sigue la definición matemática donde el resultado siempre está entre 0 y m-1. Ejemplo: -7 mod 5 = 3.

¿Qué pasa si introduzco 0 como módulo (m)?

La división entre cero no está definida, así que no se puede calcular un módulo de 0. El módulo m debe ser un número entero positivo.

¿Cuándo no existe el inverso modular?

El inverso modular solo existe cuando a y m son primos entre sí, es decir, cuando su máximo común divisor es 1. Por ejemplo, si tanto a como m son pares, no existe inverso.

¿Por qué se necesita un algoritmo rápido para la exponenciación modular?

A medida que crece el exponente, a^b se vuelve astronómicamente grande, haciendo inviable el cálculo directo. La exponenciación rápida (divide y vencerás) aplica el módulo en cada paso para mantener los números pequeños, calculando el resultado en tiempo O(log b).

¿Dónde se usa la aritmética modular en la práctica?

Se usa en la indexación de tablas hash, en la programación cíclica (días de la semana, la hora del reloj), en el cifrado y descifrado de RSA y otros sistemas de clave pública, y en la validación de sumas de verificación como los códigos ISBN.