Kalkulator Modulo

Penjumlahan, pengurangan, perkalian, pemangkatan, dan invers modular. Pelajari operasi modular yang digunakan dalam kriptografi RSA.

Modulo Dasar — Penjumlahan Modular — Pengurangan Modular — Perkalian Modular — Pemangkatan Modular — Invers Modular —

PANDUAN

Pelajari lebih lanjut

Dasar-Dasar Operasi Modulo

Operasi modulo (a mod m) adalah sisa pembagian a oleh m. Contoh: 17 mod 5 = 2. Digunakan setiap hari dalam perhitungan jam (24 jam), perhitungan hari dalam seminggu. Penting dalam pemrograman untuk perulangan indeks array, fungsi hash.

Penjumlahan dan Perkalian Modular

Penjumlahan modular: (a + b) mod m. Perkalian modular: (a × b) mod m. Untuk mencegah overflow dalam perhitungan bilangan besar, terapkan modulo pada setiap langkah. Contoh: (12 + 8) mod 5 = 20 mod 5 = 0.

Pemangkatan Modular - Perhitungan Cepat

Saat menghitung a^b mod m, pemangkatan langsung membuat angka menjadi terlalu besar. Menggunakan algoritma pemangkatan cepat divide-and-conquer memungkinkan perhitungan O(log b) time. Operasi inti dari enkripsi RSA.

Invers Modular - Algoritma Euclidean Diperluas

Invers modular adalah x sehingga (a × x) mod m = 1. Hanya ada jika a dan m saling prima. Dihitung dalam O(log m) time menggunakan Algoritma Euclidean Diperluas. Digunakan dalam dekripsi, perhitungan pecahan.

Kriptografi RSA dan Operasi Modular

RSA adalah kriptosistem kunci publik yang berbasis pada pemangkatan modular dan invers. Enkripsi: c = m^e mod n, Dekripsi: m = c^d mod n. Bergantung pada sulitnya memfaktorkan n, hasil kali dua bilangan prima besar.

Pertanyaan umum

Apa yang terjadi saat saya menghitung modulo dengan bilangan negatif?

Konvensi untuk modulo negatif berbeda menurut bahasa, tetapi kalkulator ini mengikuti definisi matematika di mana hasilnya selalu antara 0 dan m-1. Contoh: -7 mod 5 = 3.

Bagaimana jika saya memasukkan 0 sebagai modulus (m)?

Pembagian dengan nol tidak terdefinisi, jadi modulus 0 tidak dapat dihitung. Modulus m harus berupa bilangan bulat positif.

Kapan invers modular tidak ada?

Invers modular hanya ada jika a dan m saling prima, artinya faktor persekutuan terbesar mereka adalah 1. Misalnya, jika a dan m sama-sama genap, invers tidak ada.

Mengapa algoritma cepat diperlukan untuk pemangkatan modular?

Seiring eksponen membesar, a^b menjadi sangat besar sehingga perhitungan langsung tidak praktis. Pemangkatan cepat (divide-and-conquer) menerapkan modulo pada setiap langkah untuk menjaga angka tetap kecil, lalu menghitung hasil dalam O(log b) time.

Di mana aritmetika modular digunakan dalam praktik?

Aritmetika ini dipakai untuk pengindeksan bucket hash table, penjadwalan siklik (hari dalam seminggu, waktu jam), enkripsi/dekripsi dalam RSA dan sistem kunci publik lainnya, serta validasi checksum seperti cek ISBN.