Util Monster
Miễn phí
Tính nhiều khả năng khác nhau từ chỉnh hợp và tổ hợp cơ bản đến lặp và hoán vị không điểm cố định. Công cụ thiết yếu để giải các bài toán xác suất và thống kê.
nPr = n! / (n-r)!
nCr = n! / (r! × (n-r)!)
n^r (cho phép lặp)
Công thức: H(n,r) = C(n+r-1, r)
!n = n! × Σ((-1)^k / k!)
Chọn 3 từ 5 phần tử
Chỉnh hợp xét đến thứ tự khi chọn phần tử (AB ≠ BA), còn tổ hợp thì không (AB = BA). Khi chọn 2 từ ABC: chỉnh hợp cho 6 kết quả (AB, BA, AC, CA, BC, CB), tổ hợp cho 3 kết quả (AB, AC, BC). Dùng chỉnh hợp cho mật khẩu hoặc thứ hạng thi đấu khi thứ tự quan trọng, dùng tổ hợp cho chọn đội hoặc số vé số khi thứ tự không quan trọng.
Chỉnh hợp có lặp cho phép chọn cùng một phần tử nhiều lần và có xét thứ tự (n^r). Tung một con xúc xắc 3 lần có 6^3 = 216 kết quả. Tổ hợp có lặp cho phép phần tử trùng nhau nhưng không xét thứ tự: H(n,r) = C(n+r-1, r). Chọn 3 viên kem từ 5 vị kem (cho phép lặp) là ví dụ kinh điển. Những khái niệm này mô hình hóa các tình huống chọn lựa trong thực tế bằng toán học.
Hoán vị không điểm cố định đếm các cách sắp xếp sao cho không phần tử nào ở đúng vị trí ban đầu. Ký hiệu !n, được tính bằng !n = n! × (1/0! - 1/1! + 1/2! - ... + (-1)^n/n!). Với 3 người ngẫu nhiên chọn mũ, !3 = 2 (các cách BCA, CAB, trong đó không ai nhận đúng chiếc mũ của mình). Dùng trong lý thuyết xác suất, trò Secret Santa và các bài toán xáo bài.
Giải bài toán xác suất đòi hỏi tính tổng số kết quả và số kết quả của sự kiện cụ thể. Rút 5 lá từ 52 lá dùng tổ hợp để tính tổng số khả năng (C(52,5)). Ứng dụng vào xác suất thùng phá sảnh trong poker, tỷ lệ trúng số, độ khó bẻ khóa mật khẩu, và nhiều hơn nữa. Phân biệt đúng chỉnh hợp với tổ hợp là bước đầu tiên để tính xác suất chính xác.
Giai thừa (n!) là tích của tất cả số nguyên từ 1 đến n, là nền tảng của chỉnh hợp và tổ hợp. 5! = 120, 0! = 1 theo định nghĩa. Giai thừa tăng rất nhanh (10! = 3,628,800, 20! ≈ 2.4×10^18), nên cần chú ý tràn số. Xấp xỉ Stirling ước lượng n lớn: n! ≈ √(2πn) × (n/e)^n. Được dùng rộng rãi trong phân tích độ phức tạp thuật toán và tính toán phân phối thống kê.
Chỉnh hợp và tổ hợp xuất hiện khắp đời sống: chọn 3 từ 5 người dự họp (C(5,3)=10), tạo mật khẩu 4 chữ số (10^4=10,000), xếp 10 người vào 3 ghế (P(10,3)=720), chọn 2 viên kem từ 5 vị (H(5,2)=15). Đây là công cụ thiết yếu cho thiết kế thuật toán, phân tích cấu trúc dữ liệu và mô phỏng xác suất trong lập trình. Máy tính này giúp phân tích các bài toán thực tế phức tạp bằng toán học để ra quyết định tối ưu.