Kalkulator Permutasi & Kombinasi Lanjutan

Hitung berbagai kemungkinan, dari permutasi dan kombinasi dasar hingga pengulangan dan derangement. Alat penting untuk memecahkan soal probabilitas dan statistika.

Hasil

Permutasi (nPr) - Urutan berpengaruh

—

Kombinasi (nCr) - Urutan tidak berpengaruh

—

Permutasi dengan pengulangan (n^r)

—

Kombinasi dengan pengulangan H(n,r)

—

Derangement !n

—

n! (Faktorial)

—

Probabilitas permutasi — Probabilitas kombinasi —

Rumus

nPr = n! / (n-r)!
nCr = n! / (r! × (n-r)!)
n^r (pengulangan diperbolehkan)
Rumus: H(n,r) = C(n+r-1, r)
!n = n! × Σ((-1)^k / k!)

Contoh Visual

Memilih 3 dari 5 item

PANDUAN

Pelajari lebih lanjut

Memahami Permutasi vs Kombinasi

Permutasi mempertimbangkan urutan saat memilih item (AB ≠ BA), sedangkan kombinasi tidak (AB = BA). Untuk memilih 2 dari ABC: permutasi menghasilkan 6 hasil (AB, BA, AC, CA, BC, CB), kombinasi menghasilkan 3 (AB, AC, BC). Gunakan permutasi untuk kata sandi atau peringkat lomba saat urutan penting, dan kombinasi untuk pemilihan tim atau angka lotre saat urutan tidak penting.

Permutasi dan Kombinasi dengan Pengulangan

Permutasi dengan pengulangan memungkinkan memilih item yang sama beberapa kali dengan urutan (n^r). Melempar dadu 3 kali memiliki 6^3 = 216 kemungkinan. Kombinasi dengan pengulangan memungkinkan duplikasi tanpa urutan: H(n,r) = C(n+r-1, r). Memilih 3 scoop es krim dari 5 rasa (duplikasi diperbolehkan) adalah contoh klasik. Konsep ini memodelkan skenario pemilihan di dunia nyata secara matematis.

Derangement (Permutasi Lengkap)

Derangement menghitung susunan di mana tidak ada elemen yang berada pada posisi aslinya. Dilambangkan !n, dihitung sebagai !n = n! × (1/0! - 1/1! + 1/2! - ... + (-1)^n/n!). Untuk 3 orang yang memilih topi secara acak, !3 = 2 (susunan BCA, CAB, di mana tidak ada yang mendapat topinya sendiri). Digunakan dalam teori probabilitas, permainan Secret Santa, dan masalah pengocokan kartu.

Perhitungan Probabilitas Menggunakan Permutasi dan Kombinasi

Menyelesaikan soal probabilitas memerlukan perhitungan total kemungkinan dan kemungkinan kejadian tertentu. Mengambil 5 kartu dari 52 menggunakan kombinasi untuk total kemungkinan (C(52,5)). Diterapkan pada probabilitas flush poker, peluang lotre, tingkat kesulitan menebak kata sandi, dan lainnya. Membedakan permutasi dari kombinasi dengan benar adalah langkah pertama untuk perhitungan probabilitas yang akurat.

Konsep Faktorial dan Metode Perhitungan Cepat

Faktorial (n!) adalah hasil kali semua bilangan bulat dari 1 hingga n, yang menjadi dasar permutasi dan kombinasi. 5! = 120, 0! = 1 menurut definisi. Faktorial tumbuh sangat cepat (10! = 3,628,800, 20! ≈ 2.4×10^18), sehingga memerlukan pencegahan overflow. Aproksimasi Stirling memperkirakan n besar: n! ≈ √(2πn) × (n/e)^n. Banyak digunakan dalam analisis kompleksitas algoritma dan perhitungan distribusi statistik.

Penerapan di Dunia Nyata - Masalah Pemilihan dan Penyusunan

Permutasi dan kombinasi muncul dalam kehidupan sehari-hari: memilih 3 dari 5 peserta rapat (C(5,3)=10), membuat kata sandi 4 digit (10^4=10,000), menempatkan 10 orang di 3 kursi (P(10,3)=720), memilih 2 scoop es krim dari 5 rasa (H(5,2)=15). Penting untuk desain algoritma, analisis struktur data, dan simulasi probabilitas dalam pemrograman. Kalkulator ini membantu menganalisis masalah kompleks di dunia nyata secara matematis untuk pengambilan keputusan yang optimal.

Pertanyaan umum

Kapan saya harus menggunakan permutasi (nPr) versus kombinasi (nCr)?

Gunakan permutasi ketika urutan hasil yang dipilih penting, dan kombinasi ketika tidak. Misalnya, memilih peran berbeda seperti presiden dan wakil presiden adalah permutasi, sedangkan hanya memilih 3 perwakilan adalah kombinasi.

Mengapa saya tidak bisa memasukkan nilai n yang sangat besar?

Kalkulator ini mendukung n hingga 170. Di atas itu, nilai faktorial melebihi rentang yang dapat direpresentasikan secara akurat oleh angka floating-point, sehingga batas ini mencegah hasil yang salah.

Kapan saya menggunakan permutasi atau kombinasi dengan pengulangan?

Gunakan permutasi dengan pengulangan (n^r) saat pengulangan diperbolehkan dan urutan penting, seperti PIN 4 digit. Gunakan kombinasi dengan pengulangan (H(n,r)) saat pengulangan diperbolehkan tetapi urutan tidak penting, seperti memilih beberapa scoop es krim dari sekumpulan rasa.

Untuk apa derangement (!n) digunakan dalam kehidupan nyata?

Derangement menghitung susunan di mana tidak ada yang berakhir di posisi asalnya - berguna untuk membagikan nama Secret Santa agar tidak ada yang mendapat namanya sendiri, atau menghitung probabilitas bahwa setiap surat masuk ke amplop yang salah.

Mengapa kalkulator menampilkan error saat r lebih besar dari n?

Anda tidak bisa memilih lebih banyak item daripada jumlah yang ada dalam himpunan. Baik permutasi maupun kombinasi mensyaratkan r ≤ n, dan kalkulator akan menampilkan error saat kondisi itu dilanggar.