🔢 矩陣計算器

計算矩陣加法、減法、乘法、行列式和逆矩陣。快速解決線性代數問題。

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矩陣是數字的矩形數組。它在數學、物理學、電腦科學和經濟學等各個領域中使用。2×2矩陣由2行2列的4個元素組成。矩陣對於表示和解決線性方程組非常有用。

矩陣加法和減法只能在相同大小的矩陣之間進行，計算對應位置的元素。矩陣乘法要求第一個矩陣的列數等於第二個矩陣的行數。矩陣乘法通常不滿足交換律（A×B ≠ B×A）。

行列式是從方陣計算出的純量值。如果行列式不為0，則逆矩陣存在；如果為0，則不存在逆矩陣。2×2矩陣的行列式計算為ad-bc。行列式表示線性變換的體積變化。

逆矩陣是與原矩陣相乘後得到單位矩陣的矩陣。在求解矩陣方程AX = B時，可以透過X = A⁻¹B找到解。逆矩陣僅對行列式不為0的方陣存在。它在密碼學、電腦圖形學、機器人技術等領域中不可或缺。

轉置矩陣會交換行和列。原矩陣的(i,j)元素會移動到轉置矩陣的(j,i)位置。轉置用於定義對稱矩陣，在矩陣運算中具有重要性質。有像(AB)ᵀ = BᵀAᵀ這樣的轉置性質。

矩陣用於電腦圖形學中的3D變換、影像處理、機器學習中的資料表示、經濟學中的投入產出分析、量子力學中的狀態表示等。Google的PageRank演算法也是基於大規模矩陣運算。它是現代技術的核心數學工具。

矩陣加法和減法可以在任意大小的矩陣之間進行嗎？

不可以。加法和減法要求兩個矩陣的行數和列數完全相同。如果尺寸不匹配，工具會顯示「矩陣維度不適合此運算」的錯誤提示。

為什麼A×B和B×A的結果不一樣？

因為矩陣乘法通常不滿足交換律。乘法要求第一個矩陣的列數等於第二個矩陣的行數，交換順序後運算可能無法進行，或得到完全不同的結果。

為什麼會出現「逆矩陣不存在」的錯誤？

當矩陣的行列式為0時，逆矩陣不存在（此類矩陣稱為奇異矩陣）。計算器會先檢查行列式，若為0則提示此錯誤，而不會繼續計算逆矩陣。

非方陣也可以計算行列式或逆矩陣嗎？

不可以。行列式和逆矩陣僅對方陣（行數等於列數的矩陣）有定義。請確保輸入的行數和列數相同才能使用這兩項運算。