📈 근의 공식 계산기

이차방정식 ax² + bx + c = 0을 근의 공식을 사용하여 풀고 그래프로 시각화합니다. 수학 학습, 숙제, 시험 대비에 유용합니다.

방정식 형식: ax² + bx + c = 0

결과

—

판별식 (Δ)—

근 x₁—

근 x₂—

가이드

자세히 알아보기

이차방정식이란 무엇인가?

이차방정식은 최고차항이 2차인 방정식으로 ax² + bx + c = 0 형태입니다. 여기서 a, b, c는 상수이고 a ≠ 0입니다. 예를 들어 x² - 5x + 6 = 0, 2x² + 3x - 2 = 0 등이 있습니다. 이차방정식은 포물선 그래프를 그리며, 그래프가 x축과 만나는 점이 방정식의 해(근)가 됩니다.

근의 공식이란?

근의 공식은 x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a 입니다. 이 공식을 사용하면 어떤 이차방정식도 풀 수 있습니다. 예를 들어 x² - 5x + 6 = 0에서 a=1, b=-5, c=6을 대입하면 x = (5 ± √(25-24)) / 2 = (5 ± 1) / 2이므로 x = 3 또는 x = 2입니다. 이 공식은 16세기 수학자들에 의해 완성되었습니다.

판별식의 의미

판별식 Δ = b² - 4ac는 방정식의 근의 성질을 결정합니다. Δ > 0이면 서로 다른 두 실근, Δ = 0이면 중근(같은 실근 2개), Δ < 0이면 두 허근을 가집니다. 예를 들어 x² - 4x + 4 = 0은 Δ = 16 - 16 = 0이므로 x = 2(중근)입니다. x² + x + 1 = 0은 Δ = 1 - 4 = -3 < 0이므로 복소수 근을 가집니다.

이차방정식의 그래프

이차방정식 y = ax² + bx + c의 그래프는 포물선입니다. a > 0이면 아래로 볼록, a < 0이면 위로 볼록한 형태입니다. 꼭짓점의 x좌표는 -b/2a이고, 대칭축은 x = -b/2a입니다. 그래프가 x축과 만나는 점이 방정식의 근이며, 근의 개수는 판별식으로 알 수 있습니다.

인수분해와의 관계

이차방정식 ax² + bx + c = 0의 두 근이 α, β일 때, 방정식은 a(x - α)(x - β) = 0으로 인수분해됩니다. 예를 들어 x² - 5x + 6 = 0의 근이 2, 3이므로 (x - 2)(x - 3) = 0으로 인수분해됩니다. 근과 계수의 관계에서 α + β = -b/a, αβ = c/a가 성립합니다.

이차방정식의 실생활 활용

이차방정식은 물리학에서 포물선 운동(공의 궤적), 건축에서 아치 설계, 경제학에서 이익 최대화, 공학에서 최적화 문제 등에 활용됩니다. 예를 들어 높이 h에서 던진 공의 높이 y = -5t² + 20t + h에서 공이 땅에 떨어지는 시간(y=0)을 이차방정식을 풀어 구할 수 있습니다.

자주 묻는 질문

판별식(Δ)이 음수이면 어떤 의미인가요?

Δ = b² - 4ac가 음수이면 실수 범위에서는 해가 없고, 서로 켤레인 두 개의 허근(복소수 근)을 갖습니다. 그래프로 보면 포물선이 x축과 만나지 않는 경우입니다.

계수 a가 0이면 왜 계산할 수 없나요?

a가 0이면 x² 항이 사라져 이차방정식이 아니라 일차방정식(bx + c = 0)이 되어버립니다. 근의 공식 자체가 2a로 나누는 식이라 a=0이면 정의되지 않습니다.

중근(Δ=0)이 나오면 근이 1개라는 뜻인가요?

네, 정확히는 같은 값의 실근이 2개 겹쳐 있는 상태입니다. 그래프에서는 포물선의 꼭짓점이 x축에 정확히 접하는 지점이 그 근이 됩니다.

근의 공식 대신 인수분해로 풀어도 결과가 같나요?

네, 같은 방정식이라면 두 방법 모두 동일한 근을 줍니다. 다만 계수가 복잡하거나 정수로 인수분해가 안 되는 경우에는 근의 공식이 항상 통하는 반면 인수분해는 어려울 수 있습니다.

입력한 계수가 소수나 음수여도 계산되나요?

네, a, b, c는 정수뿐 아니라 소수와 음수도 입력할 수 있습니다. 다만 a는 0이 될 수 없습니다.