퍼센트 오차 계산기

과학 실험과 공학 측정에서 오차 분석은 필수적입니다. 절대 오차(Absolute Error)는 측정값과 참값(이론값 또는 표준값) 사이의 차이를 나타내며, EA = |측정값 - 참값|으로 계산됩니다. 예를 들어 참값이 100g인 물체를 측정하여 98g을 얻었다면, 절대 오차는 |98 - 100| = 2g입니다. 절대 오차는 측정값과 같은 단위를 가지며, 크기의 절대적인 차이를 알려줍니다. 상대 오차(Relative Error)는 절대 오차를 참값으로 나눈 값으로, ER = |측정값 - 참값| / |참값|입니다. 위 예시에서 상대 오차는 2 / 100 = 0.02입니다. 상대 오차는 무차원(단위 없음)이며, 참값에 대한 오차의 비율을 나타냅니다. 백분율 오차(Percent Error)는 상대 오차에 100%를 곱한 값으로, E% = (|측정값 - 참값| / |참값|) × 100%입니다. 위 예시에서 백분율 오차는 0.02 × 100% = 2%입니다. 백분율 오차는 가장 직관적이며, "참값 대비 몇 퍼센트의 오차가 있는가"를 명확히 보여줍니다. 일반적으로 실험에서 5% 이하의 오차는 우수, 10% 이하는 양호로 평가됩니다.

동일한 대상을 여러 번 측정하면 우연 오차(random error)로 인해 값이 달라집니다. 참값이 50.0mL인 액체를 5번 측정하여 49.8, 50.2, 49.9, 50.3, 50.1mL를 얻었다면, 각 측정의 절대 오차는 0.2, 0.2, 0.1, 0.3, 0.1mL입니다. 평균 절대 오차(Mean Absolute Error, MAE)는 모든 측정의 절대 오차를 평균한 값으로, MAE = Σ|측정값ᵢ - 참값| / n입니다. 위 예시에서 MAE = (0.2 + 0.2 + 0.1 + 0.3 + 0.1) / 5 = 0.9 / 5 = 0.18mL입니다. MAE는 측정 시스템의 전반적인 정확도를 평가하는 지표로, 값이 작을수록 정밀한 측정 시스템입니다. 측정값의 평균은 (49.8 + 50.2 + 49.9 + 50.3 + 50.1) / 5 = 250.3 / 5 = 50.06mL로, 참값 50.0mL에 매우 가깝습니다. 측정 횟수를 늘리면 평균값은 참값에 수렴하며, 표준편차는 √n에 반비례하여 감소합니다. 따라서 4배 정밀한 측정을 원하면 16배 많이 측정해야 합니다.

측정값을 사용한 계산에서 오차는 어떻게 전파될까요? 덧셈/뺄셈 규칙: z = x ± y일 때, z의 절대 오차는 δz = √(δx² + δy²)입니다. 예를 들어 x = 10.0 ± 0.2cm, y = 5.0 ± 0.1cm이면, z = x + y = 15.0cm이고, δz = √(0.2² + 0.1²) = √(0.04 + 0.01) = √0.05 ≈ 0.22cm입니다. 따라서 z = 15.0 ± 0.22cm입니다. 곱셈/나눗셈 규칙: z = x × y 또는 z = x / y일 때, z의 상대 오차는 δz/|z| = √[(δx/|x|)² + (δy/|y|)²]입니다. x = 10.0 ± 0.2cm(상대 오차 0.02), y = 5.0 ± 0.1cm(상대 오차 0.02)일 때, z = x × y = 50.0cm²이고, δz/z = √(0.02² + 0.02²) = √0.0008 ≈ 0.028 (2.8%)입니다. 따라서 δz = 50.0 × 0.028 ≈ 1.4cm², z = 50.0 ± 1.4cm²입니다. 거듭제곱 규칙: z = xⁿ일 때, δz/|z| = |n| × (δx/|x|)입니다. x = 10.0 ± 0.2cm(상대 오차 0.02), z = x³ = 1000cm³일 때, δz/z = 3 × 0.02 = 0.06 (6%), δz = 1000 × 0.06 = 60cm³입니다. 거듭제곱은 오차를 크게 증폭시키므로 주의가 필요합니다.

유효 숫자(Significant Figures)는 측정의 정밀도를 나타내는 숫자입니다. 유효 숫자 규칙: ① 0이 아닌 모든 숫자는 유효합니다. 예: 123 → 3개, 4.56 → 3개. ② 0이 아닌 숫자 사이의 0은 유효합니다. 예: 1002 → 4개, 50.3 → 3개. ③ 소수점 이하의 끝자리 0은 유효합니다. 예: 1.20 → 3개(1.2는 2개), 0.0050 → 2개(5와 마지막 0). ④ 정수의 끝자리 0은 애매합니다. 1200은 2개일 수도, 4개일 수도 있으므로 과학적 표기법(1.2 × 10³은 2개, 1.200 × 10³은 4개)을 사용해야 명확합니다. 계산 규칙: 덧셈/뺄셈에서는 가장 적은 소수점 자리수에 맞춥니다. 예: 12.3 + 1.2345 = 13.5345 → 13.5(소수점 1자리). 곱셈/나눗셈에서는 가장 적은 유효 숫자 개수에 맞춥니다. 예: 4.56 × 1.4 = 6.384 → 6.4(유효숫자 2개). 실험 보고서 작성 시 유효 숫자를 올바르게 표기하면 측정의 정밀도를 정확히 전달할 수 있습니다.

측정 오차는 크게 계통 오차(Systematic Error)와 우연 오차(Random Error)로 나뉩니다. 계통 오차는 측정 시스템의 결함으로 인해 한 방향으로 일관되게 발생하는 오차입니다. 예를 들어 저울이 항상 +2g 높게 측정하거나, 온도계가 -1°C 낮게 측정하는 경우입니다. 계통 오차는 측정을 반복해도 평균값이 참값에 수렴하지 않으며, 정확도(Accuracy)를 떨어뜨립니다. 계통 오차를 줄이려면 측정 기기를 교정(calibration)하거나, 영점 조정, 표준 물질과 비교하는 방법을 사용합니다. 우연 오차는 예측 불가능한 요인(온도 변화, 관측자의 실수, 전기 노이즈 등)으로 인해 무작위로 발생하는 오차입니다. 측정값이 참값 주위에서 산란(scatter)하며, 측정을 반복하면 평균값은 참값에 가까워집니다. 우연 오차는 정밀도(Precision)에 영향을 미치며, 측정 횟수를 늘리거나 측정 환경을 안정화하면 줄일 수 있습니다. 이상적인 측정은 계통 오차가 없고(정확) 우연 오차가 작아(정밀) 정확하고 정밀한 결과를 얻는 것입니다. 과녁 비유: 정확하고 정밀 = 중심에 밀집, 정확하나 부정밀 = 중심에 산란, 정밀하나 부정확 = 중심 벗어나 밀집, 부정확하고 부정밀 = 전체에 산란.