Z-점수란 무엇인가?

Z-점수(Z-Score) 또는 표준점수는 어떤 값이 평균으로부터 표준편차의 몇 배만큼 떨어져 있는지를 나타내는 수치입니다. Z = (X - μ) / σ 공식으로 계산되며, 여기서 X는 원점수, μ는 평균, σ는 표준편차입니다. Z-점수가 0이면 평균과 같고, 양수면 평균보다 높으며, 음수면 평균보다 낮습니다.

Z-점수의 활용

Z-점수는 서로 다른 척도의 점수를 비교할 때 매우 유용합니다. 예를 들어 수학 시험 점수와 영어 시험 점수를 직접 비교하기 어렵지만, Z-점수로 변환하면 어느 과목에서 더 잘했는지 알 수 있습니다. 또한 이상치(outlier) 탐지, 금융 데이터 분석, 품질 관리 등 다양한 분야에서 활용됩니다.

정규분포와 Z-점수

정규분포를 따르는 데이터에서 Z-점수는 특별한 의미를 갖습니다. Z-점수가 -1과 1 사이에 있으면 전체의 약 68%에 해당하고, -2와 2 사이면 약 95%, -3과 3 사이면 약 99.7%에 해당합니다. 이를 경험 법칙(68-95-99.7 규칙)이라고 하며, 데이터의 분포를 이해하는 데 도움이 됩니다.

백분위수와 Z-점수의 관계

Z-점수를 통해 백분위수를 구할 수 있습니다. 백분위수는 전체 중 몇 %가 그 값보다 작은지를 나타냅니다. 예를 들어 Z-점수가 1이면 약 84.13 백분위에 해당하여, 전체의 84.13%가 그 값보다 낮다는 의미입니다. Z-점수 0은 50 백분위(중앙값)에 해당합니다.

표준점수의 실생활 활용

표준점수는 학업 성취도 평가, 입학 시험, 의학 검사 결과 해석 등에 널리 사용됩니다. 수능 표준점수도 Z-점수의 변형으로, 각 과목의 난이도 차이를 고려하여 공정한 비교를 가능하게 합니다. 또한 키, 몸무게, IQ 점수 등을 해석할 때도 Z-점수가 활용됩니다.

Z-점수로 확률 계산하기

Z-점수를 사용하면 특정 값이 나타날 확률을 계산할 수 있습니다. Z-테이블이나 계산기를 사용하여 누적 확률을 구하면, 그 값보다 작거나 큰 데이터의 비율을 알 수 있습니다. 이는 가설 검정, 신뢰구간 계산, 리스크 분석 등 통계적 추론의 기초가 됩니다.

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