二次方程式とは何ですか？

二次方程式は最高次が2次の方程式で、ax² + bx + c = 0の形です。ここでa、b、cは定数で、a ≠ 0です。例えばx² - 5x + 6 = 0、2x² + 3x - 2 = 0などがあります。二次方程式は放物線グラフを描き、グラフがx軸と交わる点が方程式の解（根）になります。

解の公式とは？

解の公式は x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a です。この公式を使用すればどんな二次方程式も解けます。例えば x² - 5x + 6 = 0で a=1, b=-5, c=6を代入すると x = (5 ± √(25-24)) / 2 = (5 ± 1) / 2なので x = 3 または x = 2です。この公式は16世紀の数学者によって完成されました。

判別式の意味

判別式 Δ = b² - 4ac は方程式の解の性質を決定します。Δ > 0なら異なる2つの実数解、Δ = 0なら重解（同じ実数解2つ）、Δ < 0なら2つの虚数解を持ちます。例えば x² - 4x + 4 = 0は Δ = 16 - 16 = 0なので x = 2（重解）です。x² + x + 1 = 0は Δ = 1 - 4 = -3 < 0なので複素数の解を持ちます。

二次方程式のグラフ

二次方程式 y = ax² + bx + c のグラフは放物線です。a > 0なら下に凸、a < 0なら上に凸の形です。頂点のx座標は -b/2a で、対称軸は x = -b/2a です。グラフがx軸と交わる点が方程式の解で、解の個数は判別式で分かります。

因数分解との関係

二次方程式 ax² + bx + c = 0の2つの解がα、βのとき、方程式は a(x - α)(x - β) = 0と因数分解されます。例えば x² - 5x + 6 = 0の解が2、3なので (x - 2)(x - 3) = 0と因数分解されます。解と係数の関係で α + β = -b/a、αβ = c/a が成立します。

二次方程式の実生活での活用

二次方程式は物理学での放物線運動（ボールの軌跡）、建築でのアーチ設計、経済学での利益最大化、工学での最適化問題などに活用されます。例えば高さhから投げたボールの高さ y = -5t² + 20t + h で、ボールが地面に落ちる時間（y=0）を二次方程式を解いて求められます。

⚙️ Settings

二次方程式の解の公式計算機