數列規律偵測器

找出數字的規律並預測接下來會出現的數字。自動偵測等差、等比、費波那契等各種數列規律。

規律類型

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指南

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數列是依照特定規則排列的一組數字。等差數列每項加上一個常數,等比數列每項乘以一個常數,費波那契數列則是將前兩項相加。理解這些規律可以預測下一項,並推導出通項公式。

等差數列的相鄰兩項之差恆定。例如:2, 5, 8, 11, 14...公差為3。通項公式:aₙ = a₁ + (n-1)d。求和公式:Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 或 Sₙ = n[2a₁ + (n-1)d]/2。

等比數列的相鄰兩項之比恆定。例如:3, 6, 12, 24, 48...公比為2。通項公式:aₙ = a₁ × r^(n-1)。求和公式:Sₙ = a₁(1-rⁿ)/(1-r)。應用於複利計算、人口成長預測等。

費波那契數列:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21...定義為 F(n) = F(n-1) + F(n-2)。相鄰兩項的比值會趨近黃金比例(約1.618)。可在自然界的螺旋圖案、花瓣排列、股市分析(費波那契回檔)中發現。

平方數(1, 4, 9, 16, 25...)、立方數(1, 8, 27, 64...)、質數(2, 3, 5, 7, 11...)、三角形數(1, 3, 6, 10, 15...)。每一種都有獨特的數學性質,應用於密碼學、演算法最佳化等領域。

銀行複利計算(等比)、建築樓梯設計(等差)、細胞分裂(等比)、程式設計中的遞迴(費波那契)、物理學的等加速度運動(等差)、經濟學的成長率預測。數列在許多領域都有實際應用。