2次および3次多項式の根を求め、判別式の分析とステップごとの解法を提供します。
2次方程式 ax² + bx + c = 0 の解は: x = (-b ± √Δ) / 2a。ここで判別式 Δ = b² - 4ac。• Δ > 0: 異なる2つの実数解 • Δ = 0: 重解(1つの実数解)x = -b/2a • Δ < 0: 2つの複素数解(共役対)
2次方程式 ax² + bx + c = 0 の解は、解の公式で求めます: x = (-b ± √Δ) / 2a。ここで判別式 Δ = b² - 4ac。例: x² - 5x + 6 = 0(a=1, b=-5, c=6)のとき、Δ = (-5)² - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1 > 0。x = (5 ± √1) / 2 = (5 ± 1) / 2 となり、x = 3 または 2。因数分解すると (x-3)(x-2) = 0 です。判別式が正なら異なる2つの実数解、0なら重解(x = -b/2a)、負なら2つの複素数解(共役対)となります。例: x² + 2x + 5 = 0 では Δ = 4 - 20 = -16 < 0、x = (-2 ± √-16) / 2 = -1 ± 2i。
判別式 Δ = b² - 4ac は、方程式を解く前に根の種類を教えてくれます。Δ > 0: 放物線が x 軸と2点で交わる(異なる2つの実数解)。例: x² - 4 = 0、Δ = 16、解は x = ±2。Δ = 0: 放物線が x 軸に接する(重解)。例: x² - 6x + 9 = 0、Δ = 0、解は x = 3(重解)、(x-3)² = 0。Δ < 0: 放物線が x 軸と交わらない(複素数解)。例: x² + 1 = 0、Δ = -4、解は x = ±i。判別式は根と係数の関係(ヴィエタの定理)にも使われます: 2つの根の和 = -b/a、2つの根の積 = c/a。
2次関数 y = ax² + bx + c の頂点は (-b/2a, f(-b/2a))、対称軸は x = -b/2a です。例: y = x² - 4x + 3(a=1, b=-4, c=3)。対称軸 x = -(-4)/2(1) = 2。y(2) = 4 - 8 + 3 = -1 となり、頂点は (2, -1) です。頂点は放物線の最小値(a>0)または最大値(a<0)を表します。標準形に変換すると y = a(x - h)² + k となり、(h, k) が頂点です。y = x² - 4x + 3 = (x - 2)² - 1、頂点 (2, -1) と確認できます。対称軸 x=2 は2つの根の中点です。
3次方程式 ax³ + bx² + cx + d = 0 の解を求めるカルダノの公式(Cardano's Formula)は、16世紀イタリアの数学者カルダノが発見しました。まず簡約3次方程式(depressed cubic)t³ + pt + q = 0 の形に変換します(置換: t = x + b/3a)。次に判別式 Δ = -4p³ - 27q² を計算します。Δ > 0 なら3つの異なる実数解、Δ = 0 なら重解を含む実数解、Δ < 0 なら1つの実数解と2つの複素数解。例: x³ - 6x² + 11x - 6 = 0 を因数分解すると (x-1)(x-2)(x-3) = 0、解は 1, 2, 3。3次方程式は常に少なくとも1つの実数解を持ちます(中間値の定理)。
実係数の多項式では、複素数解は常に共役対として現れます。例: x² + 2x + 5 = 0 の解が -1 + 2i なら、もう一方の解は -1 - 2i です。これは係数がすべて実数のとき、複素数 a + bi が解であれば共役複素数 a - bi も必ず解になるためです。複素数解は実部と虚部で表され、i² = -1 です。複素平面では、共役対は実軸を基準に対称になります。3次方程式に複素数解がある場合、残りの1つは必ず実数解です(3次関数は常に実軸と交わる)。