Résout les équations du second degré ax² + bx + c = 0 à l'aide de la formule quadratique et les visualise avec des graphiques. Utile pour l'apprentissage des mathématiques, les devoirs et la préparation aux examens.
Une équation du second degré est une équation dont le plus haut degré est 2, de la forme ax² + bx + c = 0, où a, b, c sont des constantes et a ≠ 0. Par exemple : x² - 5x + 6 = 0, 2x² + 3x - 2 = 0. Les équations du second degré se représentent par des paraboles, et les points où le graphique coupe l'axe des x sont les solutions (racines) de l'équation.
La formule quadratique est x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a. Cette formule permet de résoudre n'importe quelle équation du second degré. Par exemple, dans x² - 5x + 6 = 0 avec a=1, b=-5, c=6, en substituant on obtient x = (5 ± √(25-24)) / 2 = (5 ± 1) / 2, donc x = 3 ou x = 2. Cette formule a été perfectionnée par les mathématiciens du XVIe siècle.
Le discriminant Δ = b² - 4ac détermine la nature des racines. Si Δ > 0, il y a deux racines réelles distinctes ; si Δ = 0, il y a une racine double (deux racines réelles égales) ; si Δ < 0, il y a deux racines complexes. Par exemple, x² - 4x + 4 = 0 a Δ = 16 - 16 = 0, donc x = 2 (racine double). x² + x + 1 = 0 a Δ = 1 - 4 = -3 < 0, donc elle possède des racines complexes.
Le graphique de y = ax² + bx + c est une parabole. Si a > 0, elle s'ouvre vers le haut (concave vers le haut) ; si a < 0, elle s'ouvre vers le bas (concave vers le bas). L'abscisse du sommet est -b/2a, et l'axe de symétrie est x = -b/2a. Les points où le graphique coupe l'axe des x sont les racines, et le nombre de racines peut être déterminé par le discriminant.
Lorsque les deux racines de ax² + bx + c = 0 sont α et β, l'équation se factorise en a(x - α)(x - β) = 0. Par exemple, puisque x² - 5x + 6 = 0 a pour racines 2 et 3, elle se factorise en (x - 2)(x - 3) = 0. D'après la relation entre les racines et les coefficients, α + β = -b/a et αβ = c/a.
Les équations du second degré sont utilisées en physique pour le mouvement des projectiles (trajectoires des balles), en architecture pour la conception des arcs, en économie pour la maximisation des profits et en ingénierie pour les problèmes d'optimisation. Par exemple, pour une balle lancée depuis une hauteur h avec y = -5t² + 20t + h, le moment où la balle touche le sol (y=0) peut être trouvé en résolvant une équation du second degré.