Calcula diversas posibilidades, desde permutaciones y combinaciones básicas hasta repeticiones y desarreglos. Herramienta esencial para resolver problemas de probabilidad y estadística.
nPr = n! / (n-r)!
nCr = n! / (r! × (n-r)!)
n^r (se permite repetición)
H(n,r) = C(n+r-1, r)
!n = n! × Σ((-1)^k / k!)
La permutación tiene en cuenta el orden al seleccionar elementos (AB ≠ BA), mientras que la combinación no lo hace (AB = BA). Al seleccionar 2 elementos de ABC: la permutación da 6 resultados (AB, BA, AC, CA, BC, CB), la combinación da 3 (AB, AC, BC). Usa permutaciones para contraseñas o clasificaciones de carreras donde el orden importa, y combinaciones para selección de equipos o números de lotería donde el orden no importa.
Las permutaciones con repetición permiten seleccionar el mismo elemento varias veces teniendo en cuenta el orden (n^r). Lanzar un dado 3 veces tiene 6^3 = 216 resultados posibles. Las combinaciones con repetición permiten duplicados sin tener en cuenta el orden: H(n,r) = C(n+r-1, r). Elegir 3 bolas de helado entre 5 sabores (con repetición permitida) es un ejemplo clásico. Estos conceptos permiten modelar matemáticamente situaciones de elección de la vida real.
El desarreglo cuenta los arreglos en los que ningún elemento aparece en su posición original. Se denota !n y se calcula como !n = n! × (1/0! - 1/1! + 1/2! - ... + (-1)^n/n!). Para 3 personas que toman un sombrero al azar, !3 = 2 (arreglos BCA, CAB en los que nadie recibe su propio sombrero). Se usa en teoría de la probabilidad, juegos de amigo invisible y problemas de mezcla de cartas.
Resolver problemas de probabilidad requiere calcular el total de resultados y los resultados de un evento específico. Sacar 5 cartas de un mazo de 52 utiliza combinaciones para el total de posibilidades (C(52,5)). Se aplica a la probabilidad de color en el póker, las probabilidades de lotería, la dificultad de descifrar contraseñas y más. Distinguir correctamente entre permutaciones y combinaciones es el primer paso para cálculos de probabilidad precisos.
El factorial (n!) es el producto de todos los enteros de 1 a n, fundamental para permutaciones y combinaciones. 5! = 120, 0! = 1 por definición. Los factoriales crecen rápidamente (10! = 3,628,800, 20! ≈ 2.4×10^18), lo que requiere precauciones ante el desbordamiento. La aproximación de Stirling estima valores grandes de n: n! ≈ √(2πn) × (n/e)^n. Se usa ampliamente en el análisis de complejidad de algoritmos y en cálculos de distribución estadística.
Las permutaciones y combinaciones aparecen en toda la vida diaria: seleccionar 3 de 5 asistentes a una reunión (C(5,3)=10), crear contraseñas de 4 dígitos (10^4=10,000), sentar a 10 personas en 3 sillas (P(10,3)=720), elegir 2 bolas de helado entre 5 sabores (H(5,2)=15). Esencial para el diseño de algoritmos, análisis de estructuras de datos y simulación de probabilidad en programación. Esta calculadora ayuda a analizar matemáticamente problemas reales complejos para una toma de decisiones óptima.