Z分數計算機

計算 Z 分數，以標準差為單位衡量資料點與平均值的距離。是統計分析與機率計算不可或缺的工具。

Z 分數

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累積機率 — 百分位數 —

公式: Z = (X - μ) / σ

常態分布曲線

指南

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Z 分數（標準分數）表示某個數值距離平均值有幾個標準差。計算公式為 Z = (X - μ) / σ，其中 X 為原始分數、μ 為平均值、σ 為標準差。Z 分數為 0 表示等於平均值，正數表示高於平均值，負數表示低於平均值。

Z 分數在比較不同量尺的分數時非常實用。例如很難直接比較數學與英文的考試分數，但將它們轉換成 Z 分數後，就能看出哪一科表現較佳。此外也廣泛用於離群值偵測、財務數據分析、品質管制等各個領域。

在符合常態分布的資料中，Z 分數具有特殊意義。Z 分數介於 -1 與 1 之間約佔全體的 68%，介於 -2 與 2 之間約佔 95%，介於 -3 與 3 之間約佔 99.7%。這稱為經驗法則（68-95-99.7 法則），有助於理解資料的分布情形。

百分位數可由 Z 分數推算而得。百分位數表示有多少百分比的數值低於給定值。例如 Z 分數為 1 時，大約對應第 84.13 百分位，意味著 84.13% 的數值低於該值。Z 分數為 0 則對應第 50 百分位（中位數）。

標準分數廣泛應用於學業成就評量、入學考試、醫學檢驗結果解讀等領域。學測、指考的標準分數也是 Z 分數的變化形式，考量各科難易度差異以達到公平比較。此外，身高、體重、智商分數等測量值的解讀，也會運用 Z 分數。

利用 Z 分數可以計算特定數值出現的機率。透過 Z 分數表或計算機求出累積機率，就能得知小於或大於該值的資料所佔比例。這是統計推論的基礎，包括假設檢定、信賴區間計算與風險分析等。

Z-分數為負數代表什麼意思？

Z-分數為負數表示該數值低於平均值。例如 Z = -1.5，代表該數值比平均值低 1.5 個標準差。

為什麼標準差輸入0會出現錯誤？

在 Z-分數公式 Z = (X - μ) / σ 中，標準差（σ）是分母，不能為0（無法除以0）。標準差必須輸入大於0的數值。

百分位數是怎麼計算出來的？

是將 Z-分數代入常態分布的累積分布函數（CDF）計算而得。例如 Z-分數為0時，恰好對應第50百分位（全體資料的中位數）。

這個計算機是假設資料為常態分布嗎？

是的。Z-分數以及據此計算的百分位數、機率，都假設資料服從常態分布（或接近常態分布）。若樣本與常態分布差異很大，解讀時需特別留意。

這和學測、指考的標準分數是同樣的概念嗎？

基本原理相同。學測、指考的標準分數也是利用平均值與標準差將原始分數轉換而來，屬於 Z-分數的應用形式，但實際計算公式還會加上各科難易度校正等調整。