進階排列組合計算機

從基本的排列和組合到重複排列、重複組合、錯位排列，計算各種情況的數目。這是解決機率與統計問題的核心工具。

計算結果

排列 (nPr) - 考慮順序

—

組合 (nCr) - 不考慮順序

—

重複排列 (n^r)

—

重複組合 H(n,r)

—

錯位排列 !n

—

n! (階乘)

—

排列機率 — 組合機率 —

公式

nPr = n! / (n-r)!
nCr = n! / (r! × (n-r)!)
n^r (允許重複)
H(n,r) = C(n+r-1, r)
!n = n! × Σ((-1)^k / k!)

視覺化範例

從5個中選擇3個的情況

指南

瞭解更多

排列與組合有什麼區別?

排列(Permutation)是考慮順序進行選取的情況數，而組合(Combination)是不考慮順序進行選取的情況數。例如從ABC三個字母中選取兩個時，排列將AB和BA視為不同，因此有6種(AB, BA, AC, CA, BC, CB)；而組合將AB和BA視為相同，因此有3種(AB, AC, BC)。像密碼或比賽名次這類順序重要的場景使用排列，像組隊或彩券號碼這類順序不重要的場景則使用組合。

理解重複排列與重複組合

重複排列是指從n個中選取r個，允許重複且考慮順序的情況，用n^r計算。例如擲3次骰子的情況數為6^3 = 216種。重複組合是指允許重複但不考慮順序的情況，用H(n,r) = C(n+r-1, r)計算。從5種口味中選取3球冰淇淋(可以選相同口味)是典型的例子。這些概念可用於將現實生活中各種選擇的場景進行數學建模。

錯位排列(全錯排，Derangement)的概念

錯位排列是指排列n個元素時，沒有任何一個元素處於原來位置的情況數。用符號 !n 表示，計算公式為 !n = n! × (1/0! - 1/1! + 1/2! - ... + (-1)^n/n!)。例如3個人脫下帽子放好後隨機各取一頂時，可用於求出沒有人拿到自己帽子的機率。!3 = 2，即ABC排成BCA或CAB這兩種情況。這個概念在機率論和組合數學中有重要應用，可用於神秘聖誕老人遊戲或洗牌問題等。

在機率計算中運用排列與組合

解決機率問題時，求出總情況數和特定事件的情況數是關鍵。例如從52張牌中抽取5張時，某一特定牌型的機率用組合來計算(總數: C(52,5))。它可應用於撲克中出現同花色的機率、彩券中獎機率、破解密碼的可能性等各種現實問題。正確區分排列與組合是準確計算機率的第一步，透過這個計算機可以輕鬆解決複雜的機率問題。

階乘的概念與快速計算方法

階乘(n!)是從1到n所有自然數的乘積，是排列與組合的基礎。5! = 5×4×3×2×1 = 120，而0!定義為1。大數的階乘增長非常迅速(10! = 3,628,800，20! ≈ 2.4×10^18)，因此計算時需注意溢位問題。使用斯特林近似(Stirling approximation)，對於較大的n可近似為 n! ≈ √(2πn) × (n/e)^n。階乘還廣泛應用於電腦科學的演算法複雜度分析、統計學的分佈函式計算等領域。

現實生活應用 - 各種選擇與排列問題

排列與組合隱藏在我們日常生活的方方面面。從5名會議出席者中選出3名(C(5,3)=10)、建立4位數密碼(10^4=10,000)、10個人坐在3把椅子上的方法(P(10,3)=720)、從5種口味中選取2球冰淇淋(H(5,2)=C(6,2)=15)等，各種選擇與排列的場景中都會用到。此外，它在程式設計中的演算法設計、資料結構分析、情況數計算、機率模擬等方面也不可或缺。透過這個計算機，可以對複雜的現實問題進行數學分析，從而做出最優決策。