2차 및 3차 다항식의 근을 찾고, 판별식 분석, 단계별 풀이 과정을 제공합니다.
2차 방정식 ax² + bx + c = 0의 해는: x = (-b ± √Δ) / 2a. 여기서 판별식 Δ = b² - 4ac. • Δ > 0: 서로 다른 두 실근 • Δ = 0: 중근 (하나의 실근) x = -b/2a • Δ < 0: 두 복소근 (켤레쌍)
2차 방정식 ax² + bx + c = 0의 해는 근의 공식으로 구합니다: x = (-b ± √Δ) / 2a, 여기서 판별식 Δ = b² - 4ac. 예: x² - 5x + 6 = 0 (a=1, b=-5, c=6)일 때, Δ = (-5)² - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1 > 0. x = (5 ± √1) / 2 = (5 ± 1) / 2, 따라서 x = 3 또는 2. 인수분해하면 (x-3)(x-2) = 0입니다. 판별식이 양수면 서로 다른 두 실근, 0이면 중근(x = -b/2a), 음수면 두 복소근(켤레쌍)입니다. 예: x² + 2x + 5 = 0에서 Δ = 4 - 20 = -16 < 0, x = (-2 ± √-16) / 2 = -1 ± 2i.
판별식 Δ = b² - 4ac는 방정식을 풀기 전에 근의 유형을 알려줍니다. Δ > 0: 포물선이 x축과 두 점에서 만남(서로 다른 두 실근). 예: x² - 4 = 0, Δ = 16, 근은 x = ±2. Δ = 0: 포물선이 x축에 접함(중근). 예: x² - 6x + 9 = 0, Δ = 0, 근은 x = 3(중근), (x-3)² = 0. Δ < 0: 포물선이 x축과 만나지 않음(복소근). 예: x² + 1 = 0, Δ = -4, 근은 x = ±i. 판별식은 근과 계수의 관계(비에타 정리)에도 사용됩니다: 두 근의 합 = -b/a, 두 근의 곱 = c/a.
2차 함수 y = ax² + bx + c의 꼭짓점은 (-b/2a, f(-b/2a))이고, 대칭축은 x = -b/2a입니다. 예: y = x² - 4x + 3 (a=1, b=-4, c=3). 대칭축 x = -(-4)/2(1) = 2. y(2) = 4 - 8 + 3 = -1, 따라서 꼭짓점은 (2, -1)입니다. 꼭짓점은 포물선의 최솟값(a>0) 또는 최댓값(a<0)을 나타냅니다. 표준형으로 변환하면 y = a(x - h)² + k, 여기서 (h, k)가 꼭짓점입니다. y = x² - 4x + 3 = (x - 2)² - 1, 꼭짓점 (2, -1) 확인. 대칭축 x=2는 두 근의 중점입니다.
3차 방정식 ax³ + bx² + cx + d = 0의 해를 구하는 카르다노 공식(Cardano's Formula)은 16세기 이탈리아 수학자 카르다노가 발견했습니다. 먼저 압축 3차 방정식(depressed cubic) t³ + pt + q = 0 형태로 변환합니다(치환: t = x + b/3a). 그 다음 판별식 Δ = -4p³ - 27q²를 계산합니다. Δ > 0이면 3개의 서로 다른 실근, Δ = 0이면 중근을 포함한 실근, Δ < 0이면 1개의 실근과 2개의 복소근. 예: x³ - 6x² + 11x - 6 = 0은 인수분해하면 (x-1)(x-2)(x-3) = 0, 근은 1, 2, 3. 3차 방정식은 항상 최소 하나의 실근을 가집니다(중간값 정리).
실계수 다항식은 복소근이 항상 켤레쌍으로 나타납니다. 예: x² + 2x + 5 = 0의 근이 -1 + 2i이면, 다른 근은 -1 - 2i입니다. 이는 계수가 모두 실수일 때, 복소수 a + bi가 근이면 켤레 복소수 a - bi도 반드시 근이기 때문입니다. 복소근은 실수 부분과 허수 부분으로 표현되며, i² = -1입니다. 복소 평면에서 켤레쌍은 실수축을 기준으로 대칭입니다. 3차 방정식에서 복소근이 있으면, 나머지 1개는 반드시 실근입니다(3차 함수는 항상 실수축과 교차).