Addition, soustraction, multiplication, exponentiation et inverse modulaires. Apprenez les opérations modulaires utilisées dans le chiffrement RSA.
L'opération modulo (a mod m) est le reste de la division de a par m. Exemple : 17 mod 5 = 2. Utilisée quotidiennement dans les calculs d'horloge (système 24 heures), le calcul du jour de la semaine. Essentielle en programmation pour le bouclage des index de tableaux, les fonctions de hachage.
Addition modulaire : (a + b) mod m. Multiplication modulaire : (a × b) mod m. Pour éviter les dépassements de capacité lors du calcul de grands nombres, on prend le modulo à chaque étape. Exemple : (12 + 8) mod 5 = 20 mod 5 = 0.
Lors du calcul de a^b mod m, l'exponentiation directe rend les nombres trop grands. L'algorithme d'exponentiation rapide par diviser-pour-régner permet un calcul en temps O(log b). C'est l'opération centrale du chiffrement RSA.
L'inverse modulaire est x tel que (a × x) mod m = 1. Il n'existe que lorsque a et m sont premiers entre eux. Il se calcule en temps O(log m) grâce à l'algorithme d'Euclide étendu. Utilisé pour le déchiffrement et les calculs de fractions.
RSA est un système de cryptographie à clé publique reposant sur l'exponentiation modulaire et l'inverse modulaire. Chiffrement : c = m^e mod n, déchiffrement : m = c^d mod n. Il s'appuie sur la difficulté de factoriser n, produit de deux grands nombres premiers.