Calculatrice avancée de permutations et combinaisons

Calculez diverses possibilités, des permutations et combinaisons de base aux répétitions et dérangements. Un outil essentiel pour résoudre des problèmes de probabilités et de statistiques.

Résultats

Permutation (nPr) - l'ordre compte

—

Combinaison (nCr) - l'ordre ne compte pas

—

Permutation avec répétition (n^r)

—

Combinaison avec répétition H(n,r)

—

Dérangement !n

—

n! (Factorielle)

—

Probabilité de permutation — Probabilité de combinaison —

Formules

nPr = n! / (n-r)!
nCr = n! / (r! × (n-r)!)
n^r (répétition autorisée)
H(n,r) = C(n+r-1, r)
!n = n! × Σ((-1)^k / k!)

Exemple visuel

Sélection de 3 éléments parmi 5

GUIDE

En savoir plus

Comprendre les permutations et les combinaisons

La permutation prend en compte l'ordre lors de la sélection des éléments (AB ≠ BA), tandis que la combinaison ne le fait pas (AB = BA). Pour choisir 2 éléments parmi ABC : la permutation donne 6 résultats (AB, BA, AC, CA, BC, CB), la combinaison en donne 3 (AB, AC, BC). Utilisez les permutations pour les mots de passe ou les classements de course où l'ordre compte, et les combinaisons pour la sélection d'équipe ou les numéros de loterie où l'ordre ne compte pas.

Permutations et combinaisons avec répétition

Les permutations avec répétition permettent de choisir le même élément plusieurs fois en tenant compte de l'ordre (n^r). Lancer un dé 3 fois donne 6^3 = 216 résultats possibles. Les combinaisons avec répétition permettent les doublons sans ordre : H(n,r) = C(n+r-1, r). Choisir 3 boules de glace parmi 5 parfums (doublons autorisés) en est un exemple classique. Ces concepts modélisent mathématiquement des scénarios de sélection réels.

Les dérangements (permutations complètes)

Un dérangement compte les arrangements où aucun élément n'occupe sa position d'origine. Noté !n, il se calcule comme !n = n! × (1/0! - 1/1! + 1/2! - ... + (-1)^n/n!). Pour 3 personnes choisissant au hasard des chapeaux, !3 = 2 (arrangements BCA, CAB où personne ne récupère son propre chapeau). Utilisé en théorie des probabilités, pour les jeux de Père Noël secret et les problèmes de mélange de cartes.

Calculs de probabilité avec permutations et combinaisons

Résoudre des problèmes de probabilité nécessite de calculer le nombre total de résultats et le nombre de résultats d'un événement spécifique. Tirer 5 cartes parmi 52 utilise des combinaisons pour le total des possibilités (C(52,5)). Applicable à la probabilité de couleur au poker, aux chances de loterie, à la difficulté de piratage de mot de passe, et plus encore. Distinguer correctement permutations et combinaisons est la première étape vers des calculs de probabilité précis.

Notions de factorielle et méthodes de calcul rapide

La factorielle (n!) est le produit de tous les entiers de 1 à n, fondamentale pour les permutations et combinaisons. 5! = 120, 0! = 1 par définition. Les factorielles croissent rapidement (10! = 3 628 800, 20! ≈ 2,4×10^18), nécessitant des précautions contre le dépassement de capacité. L'approximation de Stirling estime les grands n : n! ≈ √(2πn) × (n/e)^n. Largement utilisée dans l'analyse de complexité algorithmique et les calculs de distributions statistiques.

Applications concrètes - problèmes de sélection et d'arrangement

Les permutations et combinaisons apparaissent partout dans la vie quotidienne : choisir 3 participants parmi 5 à une réunion (C(5,3)=10), créer des mots de passe à 4 chiffres (10^4=10 000), asseoir 10 personnes sur 3 chaises (P(10,3)=720), choisir 2 boules de glace parmi 5 parfums (H(5,2)=15). Essentiel pour la conception d'algorithmes, l'analyse de structures de données et la simulation de probabilités en programmation. Cette calculatrice aide à analyser mathématiquement des problèmes réels complexes pour une prise de décision optimale.