Calcula diversas posibilidades, desde permutaciones y combinaciones básicas hasta repeticiones y desarreglos. Herramienta esencial para resolver problemas de probabilidad y estadística.
nPr = n! / (n-r)!
nCr = n! / (r! × (n-r)!)
n^r (se permite repetición)
H(n,r) = C(n+r-1, r)
!n = n! × Σ((-1)^k / k!)
Selección de 3 de 5 elementos
La permutación considera el orden al seleccionar elementos (AB ≠ BA), mientras que la combinación no lo hace (AB = BA). Al elegir 2 de ABC: la permutación da 6 resultados (AB, BA, AC, CA, BC, CB), la combinación da 3 (AB, AC, BC). Usa permutaciones para contraseñas o clasificaciones de carreras donde el orden importa, y combinaciones para la selección de equipos o números de lotería donde el orden no importa.
Las permutaciones con repetición permiten seleccionar el mismo elemento varias veces considerando el orden (n^r). Lanzar un dado 3 veces da 6^3 = 216 resultados posibles. Las combinaciones con repetición permiten duplicados sin orden: H(n,r) = C(n+r-1, r). Elegir 3 bolas de helado entre 5 sabores (se permiten duplicados) es un ejemplo clásico. Estos conceptos modelan matemáticamente escenarios reales de selección.
Un desarreglo cuenta las disposiciones en las que ningún elemento ocupa su posición original. Denotado como !n, se calcula como !n = n! × (1/0! - 1/1! + 1/2! - ... + (-1)^n/n!). Para 3 personas eligiendo sombreros al azar, !3 = 2 (disposiciones BCA, CAB donde nadie obtiene su propio sombrero). Usado en teoría de probabilidad, juegos de amigo invisible y problemas de barajado de cartas.
Resolver problemas de probabilidad requiere calcular los resultados totales y los resultados de eventos específicos. Sacar 5 cartas de 52 usa combinaciones para las posibilidades totales (C(52,5)). Aplicado a la probabilidad de flush en póker, probabilidades de lotería, dificultad de descifrado de contraseñas y más. Distinguir correctamente permutaciones de combinaciones es el primer paso para cálculos de probabilidad precisos.
El factorial (n!) es el producto de todos los enteros de 1 a n, fundamental para permutaciones y combinaciones. 5! = 120, 0! = 1 por definición. Los factoriales crecen rápidamente (10! = 3,628,800, 20! ≈ 2.4×10^18), por lo que se requieren precauciones contra desbordamiento. La aproximación de Stirling estima valores grandes de n: n! ≈ √(2πn) × (n/e)^n. Ampliamente usado en análisis de complejidad de algoritmos y cálculos de distribuciones estadísticas.
Las permutaciones y combinaciones aparecen en toda la vida cotidiana: seleccionar 3 de 5 asistentes a una reunión (C(5,3)=10), crear contraseñas de 4 dígitos (10^4=10,000), sentar a 10 personas en 3 sillas (P(10,3)=720), elegir 2 bolas de helado entre 5 sabores (H(5,2)=15). Esencial para el diseño de algoritmos, análisis de estructuras de datos y simulación de probabilidad en programación. Esta calculadora ayuda a analizar problemas reales complejos matemáticamente para una toma de decisiones óptima.