モジュロ計算機

モジュラー加算・減算・乗算・べき乗・逆元の計算。RSA暗号に活用されるモジュラー演算を学びます。

基本モジュロ — モジュラー加算 — モジュラー減算 — モジュラー乗算 — モジュラーべき乗 — モジュラー逆元 —

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モジュロ演算(a mod m)は、a を m で割ったときの余りです。例:17 mod 5 = 2。時計の計算(24時間制)や曜日の計算など、日常でもよく使われます。プログラミングでは配列インデックスの循環やハッシュ関数などに不可欠です。

モジュラー加算:(a + b) mod m。モジュラー乗算:(a × b) mod m。大きな数を計算する際のオーバーフローを防ぐには、各ステップごとにモジュロを取ります。例:(12 + 8) mod 5 = 20 mod 5 = 0。

a^b mod m を計算するとき、直接べき乗すると数が大きくなりすぎます。分割統治法による高速べき乗アルゴリズムを使えば、O(log b) の時間で計算できます。RSA暗号の中核となる演算です。

モジュラー逆元とは、(a × x) mod m = 1 となる x のことです。a と m が互いに素であるときにのみ存在します。拡張ユークリッドの互除法を用いて O(log m) の時間で計算します。暗号解読や分数計算に使われます。

RSAは、モジュラーべき乗と逆元を中核とする公開鍵暗号方式です。暗号化:c = m^e mod n、復号:m = c^d mod n。2つの大きな素数の積 n を因数分解するのが困難である点を利用します。